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1、排列组合解题探究秫归二屮龚前祥排列组合历來是高中学生认为难学的内容，原因Z—是由于它们研究的对象不具体，而月•结果不便于检验•而排列组合应用广泛•如抽奖、比赛场次、任务安排、物品分配等都涉及到排列组合•很多涉及到排列组合的问题，只要加强类比分析和归纳，仍然有规律可循，收到多题一法，一法多用的效果.现就排列组合问题的求解策略做一下探究.一、排列组合应用题解法解排列组合应用题，不能单靠现成的公式，更不能死套公式，首先需要认真审题，弄明确题中毎一个字和毎一句话的确切含义，弄明确题中所要做的“事情”是什么，以及怎样的结果才算完成了这样事
2、情，然后紧紧抓住是排列问题还是组合问题,是乘法原理还是加法原理的问题进行分析，这样不仅冇助于寻找正确答案的解题途径，而且还能培养我们细致深入思考问题的习惯和分析问题与解决问题的能力.例1把4个男同学和4个女同学平均分成4组，至1」4辆公共汽车上劳动，如果同样的2人在不同的汽车上劳动作为不同情况看待，问有儿种不同的分法？如果每个小组必须是一个男同学和一个女同学，问有几种不同的分发？如果男同学、女同学分别分组，又有几种分法？解：（1）题中耍做的“事情''是把男女8个同学混在一起平均分成4组，分配到4个汽车上去，我们把这个分配的总任务
3、分成4个步骤来做，首先安排其中2人上第一辆车，有种分法，再由其余的6人屮安排2人到第2辆车，有种分法，然后依次安排第3,4辆车分别冇C：、C；种分法•由于各车分派人数是相关的，而月.都必须安排好，由乘法原理，共有C：=2520种分法.（2）要求每一个车上必须要有一男一女，我们不妨先把4个男同学分别派上4辆车上，这显然是一个与顺序有关的排列问题，有厅种不同的方法•再把4个女同学安排上这4辆车，这自然也是一个排列问题，有用种不同的方法•男、女安排是相关的，而且每一辆车上的男女都必须搭配好，由乘法原理，共有：用・用=576种不同的分法
4、.（3）男女分别分组，4个男同学平均分成两组，有种方法（这是一个与顺序无关的问题，这与把4个男同学平均分成两组分别上甲、乙两汽车的分法不同，后者是与顺序冇关的，其分法为C：（或g）种分法），同样，4个女同学平均分成2组，也有C：/2=3种分法，由乘法原理，分组的方法就有3x3=9种，对于这样的每一种分法中的4个小组分别上4辆不同的车，又有用种分法，再由乘法原理，所以共有9x^4=216种不同的分法.例2分配5个人分别担任5种不同的工作，如果甲不能担任第一种工作，乙不能担任第5种工作，有多少种分配法？为了明确起见，我们可以用a,b
5、,c,d,e表示这5个人，那么这个问题就是5个不同兀素a,b,c,d,e全取的排列，求a不排在首位，〃不排在末位的排列数.解法一：因d不能在首位，因此排在首位的只能是b或c,d,e,所以可将所求的排列数分为两类：一类是b在前位，此吋余下的四个元素a,c,d,w不论怎么排都合要求，这种排列有厅个，另一类是先想c,d疋三个元素之一排在首位，有片种方法•次将b排在中间3个位置上，又有尺种方法，最后将其它3个元索排在其它3个位置上，有厅种方法,这3步是相关联的，而H必须都完成，由乘法原理，这类排列共有3x3x用个，再由加法原理，所求的排
6、列共有用+3x3x用=78个.故有78种合乎条件的排列法.（注）本题若不仔细分析，可能得出下而两个错误的解法：一是错谋的把题设条件理解为匸与〃不同时排在首、末两个位置上”5个元索a,b,c,d,£的全排列有尺个，其中a排在首位，同时b排在末位的排列数有1x^x1个，故所求的排列有尺-用=114种•第二种是计算的错误,5个元素的全排列有用种，这尺种包拈了°为首位的厅种，也包描了b排在末位的厅种，故所求的排列有：P；-P：-P：=T1种.现把上述两种错误解法加以改止，得到以下两种止确的解法：解法二：前一解法的错误在于没有把不合条件的
7、排列都除去.因为在用—用=144种中，既包括a排在首位，但b不能排在末位上，也包括b排在末位，但。不排在首位上，这两类排列数均为片-厅，所以，正确的答案为：用-耳-2（斗-用）=78种.解法三：后一解法的错误在于忽略了在。排列首位的用种排列中和〃排在末位的用种排列中有公共的部分，这公共的部分就是。排在首位，同时b排在末位的排列，这种排列数用被减去了两次，应补加一次才行，故正确的答案为：尺-马4_用+片3=78种.（注）解法一的特点是将所要求的排列先分解成若干类，然后分别计算各类的排列数，最后相加，即分解法•使用这种解法的要点是使
8、适合所求条件的每一个排列必须屈于而冃只能屈于所分的某一类；解法二与解法三的特点都是从所冇的排列中排除不合要求的排法，即排除法•使用这种解法的要点是必须把不合要求的排法排除干净，既不能排除多了，也不能排除少了.例3从1,2,3,…,100中取两个数相乘，其积能被3
