数模渡江问题

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1、抢渡长江概要本文主要研究抢渡长江问题，根据条件的不同，为运动员找出一条最优的方案。对于问题一，假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。第一名的成绩为14分8秒根据“两点之间直线最短”，当合速度方向与位移方向相一致时，人所用时间最短。我们运用余弦定理进行求解，运算比较简单，得出2002年第一名运动员的速度为1.54m/s，第二问，通过建立平面直角坐标系，找出游泳者在水平方向和竖直方向的速度，根据平行四边形法则列式求解，得出两条路线。问题二：对于游泳者始终以和岸边垂直的方向游,一定的情况下，利用勾

2、股定理求出垂直向对岸游的最小速度，为2.19m/s,但目前这比近年世界游泳冠军的速度还要大，故可判断无人可以到达目的地。之所以1934年和2002年到达目的地的人数有差别，是因为两次比赛起点到终点的位移相差较大，且水温气候也有一定影响。在第二小问中，我们根据“点到直线的垂线最短”。当游泳者按1.49m/s的速度沿着与x轴正方向成142.53°的方向游。1.4m/s是游泳者能到达终点的最小速度。问题三首先我们考虑的是走最短的路程从而可能花最短时间，但是我们在假设后验证发现，和速度方向不可能和位移方向相同，从而我们提出了第二种方案，假设游泳

3、者走三段折线，折线上任何一点的速度都大于第一种情况下直线上相应位置上的速度，虽然路程增加了，但是可能时间减少了，所以将江面分为三个区域，每个区域内流速确定，人的速度方向也一定，我们通过画出线路图，利用解非线性方程组的最优解，建立目标函数和约束条件，最后通过matlab计算得出，最短时间为904.0228s。问题四模型的建立思路和模型三差不多，问题四中首先我们考虑的是走最短的路程从而可能花最短时间，但是我们在假设后验证发现，我们的和速度方向不可能和位移方向相同，从而我们提出了第二种方案,人的速度方向恒定，和速度可能大于走直线情况下的和速度

4、，最终可能所花时间比第一种情况短，已知水流速度随着距岸边距离的改变而改变的区，我们利用定积分的方法算出人水平移动的实际距离，求解过程与问题三类似，最短时间为892.4776s。问题五和问题六实际是对模型的改进和推广的问题，竞渡策略的选择取决于游泳者的游泳速度大小和游泳总路程的大小，一定程度上还受天气，水温等的影响。关键字：规划最优解定积分一、问题的重述“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44

5、人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃,江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由

6、于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线,它们之间的垂直距离为1160米,从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见示意图。请你们通过数学建模来分析上述情况,并回答以下问题:1.假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2.在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂

7、直的方向游,他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。3.若流速沿离岸边距离的分布为(设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向)：游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4.若流速沿离岸边距离为连续分布,例如或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。5.用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。6.你们的模型还可能有什么其他的应用？抢渡长江路线图抢渡长江竞赛现场二、

8、问题分析对于问题一：第一问中，假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。第一名的成绩为14分8秒根据“两点之间直线最短”，当合速度方向与位移方向相一致时，人所用时间