电场中的自由电子

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1、第四节电场中的自由电子本节主要内容：一、准经典模型二、电子的动力学方程三、金属的电导率这一节主要讲述自由电子在电场中的输运性质所以，我们首先看一下Drude的经典模型一、准经典模型准经典模型是在经典模型的基础上稍作改动建立起来的1.Drude经典模型Drude把自由电子视为理想气体，用类似气体动力论的方法讨论金属的电导和热导问题，其模型为：1).电子在规则排列的离子实中作无规热运动，电子气同金属离子相互碰撞达到热平衡2).在两次碰撞之间，电子不受到力的作用，即忽略电子之间的相互作用(独立电子近似)以及电子和离子实之间的相互作用(自由电子近似)3

2、).定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子的碰撞特征驰豫时间，相当于相继两次散射间的平均时间由于驰豫时间，相当于相继两次散射间的平均时间，则单位时间内电子与金属离子的碰撞几率为-1dt时间内，电子受到碰撞的几率为2.模型的适用性由于金属中电子的平均自由程(meanfreepath)的室温值约10nm(低温下会更长一些),远大于量子力学中测不准原理得到的坐标不确定度0.1nm,因此,在很多问题中,经典近似是很好的近似说明：按测不准关系金属自由电子模型的解表明，电子有确定的动量因此，动量的不确定度应远小于金属中电子的最高动量，也就是要远小于费

3、米动量,动量才会有确定值。也就是动量的不确定度前面我们已知费米波矢电子密度的另一种表示：所以从而由测不准关系可得坐标有确定值的条件为：由于电子球的平均半径rs约为0.1nm,所以，当平均自由程远大于0.1nm时，坐标有确定值。3.准经典模型对外场作用下的电子，采用经典的处理方式，但用电子的费米速度代替电子的平均热运动速度，这种做法称为准经典模型。二、电子的动力学方程由于假定碰后电子无规取向，所以电子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分电子。由假定，dt时间内，电子受到碰撞的几率为：则电子没有受到碰撞的几率为：假定t时刻电子的平均动量为P(t)

4、,经过dt时间没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献为P(t+dt)没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应为t时刻电子的平均动量和dt时间后动量的变化率之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。即：由冲量定理，冲量等于动量的变化冲量是对于所有电子而言的，电场力对所有电子有作用但是，有贡献的只是未发生碰撞的电子整理上式取一级近似整理得所以，自由电子在外场下的动力学方程为设外场作用下电子的漂移速度(driftvelocity)为vd(t),则动量从而，自由电子在外场下的动力学方程变为阻尼力下面我们利用该方程讨论电子的输运行为1.4.3金属的电导率对于稳恒电场下，

5、电子具有恒定的漂移速度所以：把它们代入自由电子在外场下的动力学方程得到：整理后得到电子的漂移速度为相应的电流密度又所以，电导率为1.稳恒电场情形根据实验我们可以测出材料的电导率然后，代入电导率公式可计算弛豫时间由弛豫时间，可得到电子的平均自由程：对于普通的金属，的量级约10-14s,l约10nm2.交变电场情形此时代入电子的动力学方程得整理得由得到为直流电导率3.金属电导率的进一步讨论金属的电导率是固体电子论的一个重要问题，要严格求解电导率必须先建立非平衡分布函数的方程，即玻尔兹曼方程。关于玻尔兹曼方程的建立和求解，是一项很复杂的工作。本教材

6、的第六章第二节会讨论该问题。下面我们利用费米球在外场作用下产生刚性移动这一直观模型来进一步讨论金属的电导率已知金属自由电子费米气体具有确定的动量在恒定的外场作用下，电子受力为-eE由牛顿第二定律此式说明在外电场的作用下，电子动量的改变表现为k空间相应状态点的移动，即产生了费米球的刚性移动。在k空间移动的速度为从而电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得此式表明，在K空间，从0t时刻，费米球中心移动为负号表示费米球沿与外场相反的方向移动那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的位移为费米球在外场作用下产生刚性移动示意图从0时刻，费米球中心逆电场方

7、向移动为讨论：1).不加外场时，费米球的中心和K空间的原点重合；整个费米球对原点对称。此时，如果有一个电子有速度V,就有另一个电子有速度-V,因此金属内净电流为零。2).沿kx轴负向加一外电场E,费米球沿kx轴平移，出现定向运动，从而形成kx轴向的稳态电流关于电流的形成有两种解释：a.认为费米球内的所有电子都参与了传输电流的过程。由于费米球的平移，每一个电子都得到一个速度增量v则由所以，附加速度则电流密度所以，电导率为b).另一种说法认为，只有费米面附近的电子才对金属的电导有贡献如图所示，在外场作用下，费米球从红色位置向蓝色位置平移。由于I区和

8、II区均位于原来的红色球内,且关于ky–kz面对称。所以它们的传导作用被抵消。只剩下费米面附近未被补偿的蓝色月牙形部分的电子才有传导电流作用。由于费米