直线和平面垂直与平面和平面垂直(2课时

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1、考点三折叠问题如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图②.(1)求证：平面PBC⊥平面PDC；(2)在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值．练习：如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝____________.答案：a考点四与垂直有关的探究性问题已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、A

2、D上的动点，且AE/AC＝AF/AD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD.[分析](1)只需证明面BEF中恒有一直线与平面ABC垂直即可；(2)探究过点B且与面ACD垂直的直线，并求此时λ的值．考点五线面角与二面角[题组自测]1．(2011·长沙模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是()A．15°B．30°C．45°D．60°答案：B2．(2011·西安模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面

3、BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C3.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E、F分别是AB、PD的中点．(1)求证：AF∥平面PEC；(2)求PC与平面ABCD所成的角的正切值；(3)求二面角P－EC－D的正切值．∴四边形AEOF是平行四边形，∴AF∥OE.又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，∴AF∥平面PEC.(2)如图，连结AC，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角．[归纳领悟]1．线面角的问题(1)线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是基本

4、思路，要注意与线线垂直，线面垂直的相互关系．(2)求直线与平面所成角的一般过程为：①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；②在三角形中求角的大小．二面角及其平面角一概念1二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角lll二面角ll叫做二面角的棱半平面,叫二面角的面AlAAOBOllBOB定义法三垂线法垂面法2．二面角的平面角（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB，则AOB叫做二面角l的平面角（2）一个平面垂直于二面角l的棱l，

5、且与两半平面交线分别为OA,OB,O为垂足，则AOB也是l的平面角（3）在内取一点A，过A作AB于B，过B作BOl于O连AO，由三垂线定理知，AOB也是二面角l的平面角二面角的平面角范围是：0,二示例例1在正四面体ABCD中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小A解：取BC的中点E，连接AE,DE∵正四面体ABCD，∴BCAE,BCED于E∴AED为二面角ABCD的平面角DB设正四面体的棱长为133E则AE,DE,AD1C221由余弦定理得cosAED31即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为arccos3

6、也可令ABa，ACb,ADc，棱长为1，用向量求角本题是用定义法找到了二面角的平面角例2过二面角l内一点P作PA,PBA、B为垂足若0PPA4,PB5,APB60求（1）二面角l的平面角大小B（2）P到棱L的距离解（1）过P、A、B作一平面，交L于OloA连AO，BO因为PA,PB,l所以lPA,lPBl平面PAOBlOA,lOB得AOB是二面角l的平面角由000AOB1200A90,B90,APB60知(2)因为l平面PAOB所以POl知PO即为P到L的距离在三角形A

7、PB中，由余弦定理得AB21AB2由于四边形PAOB存在外接圆PO2R21270sin603本题是用垂面法找到二面角的平面角例3．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，求平面C1BD与底面ABCD所成二面角C1BDC的平面角大小解：连AC交BD于O，则ACBDD1C1连OC因为CC平面ABCD11AB11所以OC是OC在平面ABCD上的射影1由三垂线定理得OCBD1DC故C1OC即为所求二面角的平面角oAB2因为CC1