信号统计分析pdf

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1、第第第1章章章章统计信号处理中的基本数学知识统计信号处理中的基本数学知识在信号的分析与处理中常常需要用到不少数学基础知识，因此在本章中将对统计信号处理中可能用到的数学知识做简单的回顾。第一节主要是对概率论内容的概述；第二节主要是介绍随机过程的基本内容；在第三节中，线性代数的知识将是我们阐述的重点。由于本书侧重于数学知识在统计信号处理中的应用，因此关于数学基础知识的阐述以基本概念和有用的结论为主，而命题的严格证明较少涉及。1.1概率论概要自然界与人类社会的众多现象大致可分为确定性现象与随机现象。确定性现象，即在一定条件下必然会出现某一结果(或发生某一事件)的现象。例如，纯净水在一个大o气压下加

2、热至100C时，必然沸腾。这类现象由确定的规律所控制，从数量的角度来研究，就产生了量与量之间确定的函数关系。所谓随机现象，即在一定条件下可能出现不同结果(或发生不同事件)，且不能准确预言究竟出现哪一种结果的现象。例如，相同条件下掷一枚硬币，可能正面向上也可能反面向上，且在未掷之前无法准确预言究竟哪一面向上。这一类现象广泛存在于自然界与社会活动中，而概率论正是探索研究这类随机现象客观规律的一门学科。本节首先介绍随机事件及其概率，并在此基础上分析随机变量的分布和数字特征，最后对现实中常用的多维随机变量做简单的概述。1.1.1随机事件及其概率USTC−ISSP观察、研究随机现象的手段与过程称为试验

3、。当试验满足下述条件时，则称其为随机试验，记为E。(1)试验可在相同条件下重复进行(可重复性)；(2)试验可能出现的结果不止—个，并明确知道所有可能的结果；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但是试验之前不能准确预言哪一种结果会出现。事件、、、基本事件、基本事件、、、样本空间、样本空间：：：某一随机试验中可能：出现的每一结果称为该试验的一个基本事件(样本点)，记为ω。所有基本事件构成的集合称为该试验的样本空间，记为Ω。由若干基本事件构成的样本空间Ω中的子集合称为该试验中的随机事件，简称为事件，记为ABC,,,⋯等。当属于事件A的某一基本事件发生时，则称事件A发生。刻画事件A发生可

4、能性大小的指标称为事件A的概率，记为PA()。下面计算PA()。统计概率：：：在观察某一随机事件：A的随机试验中，随着随机试验次数n的增大，事件A发生的频率fn(A)会越来越稳定地在某一常数p附近摆动，这时就以常数p作为事件A的概率即PA()=p。古典概型：：：具有以下特征的随机试验：：（1）每次试验的样本空间Ω只包含有限个基本事件，记为ωω,,⋯,ω；12n（2）各个基本事件出现的可能性相同，即基本事件的出现具有等可能性。古典概率：：：对古典：概型中的任一随机事件A，以A中的基本事件数PA()=（1.1.1）Ω中的基本事件总数作为事件A的概率。几何概型：：：具有以下特征的随机试验：(1)随

5、机试验可归结为在—个可度量的几何图形Ω中随机投点(或取点)，以mΩ表示Ω的度量(如长度、面积、体积等)，而事件A是指所投点(取点)落在(取自)Ω中的可度量图形A中；(2)事件A的概率与A的度量mA成正比，而与A在Ω中的位置无关。几何概率：：：对几何概型中的任一随机事件：A，以mAPA()=（1.1.2）mΩ作为事件A的概率。事件概率PA()的性质：随机试验样本空间Ω每一随机事件A的概率概率(1)非负性：对每一个事件A⊂Ω，都有PA()≥0；(2)规范性：P(Ω=)1；∞∞USTC−ISSP(3)可列可加性：对任意互不相容的事件AA1,2,⋯,Ai,⋯，有P∑Ai=∑PA(i)i=1

6、i=1条件概率：：：设：A和B为任意两个随机事件，且PB()>0，称PAB()PAB()=（1.1.3）PB()为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，也称A对B的概率。概率的乘法公式：由条件概率可以得到PAB()=PBPAB()()，PB()>0，PAB()=PAPBAPA()(),()>0任意有限事件的乘法公式：nP∏Ai=PAPAAPAAA(1)(21)(312)⋯PAAA(n12⋯An−1)(1.1.4)i=1全概率公式：：：设某随机试验的样本空间：Ω中的事件AA,,⋯,A,⋯（有限个或可列个）构成一个完12i备事件组，且PA()>0,i=1,2,⋯，则对任一事件B，有

7、iPB()=∑PAPBA(i)(i)(1.1.5)i贝叶斯公式：：：设某随机试验的样本空间：Ω中的事件AA,,⋯,A,⋯（有限个或可列个）构成一个完12i备事件组，且PA()>0,i=1,2,⋯，则对任一事件B，且PB()>0，有iPA(m)PBA(m)PAB(m)=,m=1,2,⋯(1.1.6)∑PAPBA(i)(i)i事件独立：：：如果随机事件：A与B满足关系，称事件A与B是相互独立的，简称A与B独立。P