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1、南阳市五中高一数学郭娜2.3 两角和与差的正切函数学习目标1.知识目标：（1）掌握两角和与差的正切公式的推导；（2）掌握公式的正、逆向及变形运用；（3）正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式形式解决问题；（4）正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明.（5）能将简单的几何问题化归为三角函数问题2.能力目标：培养学生的数学转换能力及分析问题的能力.3.情感目标：（1）培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题；（2）通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解决问题的优化意识.4.重
2、点：公式的推导及运用，培养学生掌握获取知识，运用知识的一系列的数学方法.5.难点：公式的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，学会恰当赋值、逆用公式等技能.课时安排1课时教学过程导入新课复习两角和、差的正弦公式，两角和、差的余弦公式如何计算sin75°cos15°的值？(问题导入)如何计算tan75°的值？思路1利用所学两角和的正弦与余弦公式思路2怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？公式推导当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=.若cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子分母同
3、除以cosαcosβ,得tan(α+β)=.思考如何推导两角差的正切公式？思路1利用所学两角差的正弦与余弦公式南阳市五中高一数学郭娜思路2根据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有tan(α-β)=.由此推得两角和与差的正切公式,简记为“Tα-β、Tα+β”.tan(α+β)=;(Tα+β)tan(α-β)=.(Tα-β)我们把公式Tα+β,Tα-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以知道α、β,α±β有一定的取值范围,即α≠+kπ(k∈Z),β≠+kπ(k∈Z),α±β≠+kπ(k
4、∈Z),这样才能保证tan(α±β)与tanα,tanβ都有意义.思考：如何化简tan(-β)？因为tan的值不存在,不能应用两角和与差的正切公式,所以改用诱导公式tan(-β)=来处理.公式的逆用与变形应用例1求值：(1)tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°；(2)．(3)南阳市五中高一数学郭娜变式训练11.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.2.计算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.公式的综合应用例2已知tanα=2
5、,tanβ=-,其中0＜α＜,＜β＜π.(1)求tan(α-β);(2)求α+β的值.变式1若tan(α+β)=,tan(β-)=,求tan(α+)的值.变式2已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值南阳市五中高一数学郭娜变式3如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值．课堂总结备用习题1.已知A、B、C是斜△ABC的三个内角,求证:(1)tanA+tanB
6、+tanC=tanAtanBtanC;(2)tantan+tantan+tantan=1.2.设关于x的一元二次方程mx2+(2m-1)x+(m+1)=0的两个实根为tanα与tanβ,求tan(α+β)的取值范围.3.求tan70°+tan50°-tan50°tan70°的值.4.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=tanα.5.化简-2cos(A+B).6.已知5sinβ=sin(2α+β).求证:2tan(α+β)=3tanα.南阳市五中高一数学郭娜参考答案:1.解:(1)∵A、B、C是斜△A
7、BC的内角,∴A+B+C=π,即A+B=π-C.由题意可知,A、B、C都不为,因此有tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC.∴=-tanC,去分母,移项,整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.(2)∵++=,∴+=-.∴tan(+)=tan(-).∴.去分母,移项,整理可得tantan+tantan+tantan=1.2.解:由题设可知m≠0,且Δ=(2m-1)2-4m(m+1)≥0.①由①解得m∈(-∞,0)∪(0,］.根据韦达定理可得则tan(α+β)==2m-1.∵m∈(-∞,0)∪(
8、0,］,∴2m-1≤2×-1=-,且2m-1≠-1.∴tan(α+β)的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,-］.3.解:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-tan50°tan70°=-(1-tan70°tan50°)-tan50°tan70°=-+3tan70°
