《n维随机向量》PPT课件

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1、一、联合分布与边缘分布定义3.16n维随机向量(X1，X2，…，Xn)定义3.17n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}记FXi(xi)=Fi(xi)=P{Xi≤xi}为关于Xi的边缘分布函数。定义3.18离散型n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合概率函数为p(x1,x2,…,xn)=P{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}记pXi(xi)=pi(xi)=P{Xi=xi}为关于Xi的边缘概率函数。定义

2、3.19连续型n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合密度函数为f(x1,x2,…,xn)记fXi(xi)=fi(xi)为关于Xi的边缘密度函数。第五节*、n维随机向量1二、独立性定义3.20对于n维随机向量(X1，X2，…，Xn)，如果对任意的xi∈R,都有F(x1,x2,…,xn)=FX1(x1)FX2(x2)…FXn(xn)则称X1，X2，…，Xn相互独立。等价于：联合分布函数等于各个边缘分布函数之积第五节*、n维随机向量也可这样定义：如果对于任意的ai

3、{a1

4、X2，…，Xn)，则X1,X2,…,Xn相互独立的充分必要条件是：对于任意的x1,x2,…,xn，有f(x1,x2,…,xn)=fX1(x1)·fX2(x2)…fXn(xn)即联合密度函数等于各个边缘密度函数之积。定义3.21(独立同分布的随机变量序列)若随机向量序列X1,X2,…,Xn…中任意n个随机变量(n=2,3,…,)都相互独立，且每个随机变量Xi都服从同一种分布，则称X1,X2,…,Xn,…独立同分布的随机变量序列。3三、n维机向量函数n维随机向量(X1，X2，…，Xn)的函数记为Y=

5、g(X1，X2，…，Xn)定理3.11：设Xi~N(mi,si2)，i=1,2,…,n，且X1,X2,…,Xn相互独立，则它们的非零线性组合仍服从正态分布，即存在不全为零的常数a1,a2,…,an，有第五节*、n维随机向量推论：设X1,X2,…,Xn相互独立且同分布，Xi~N(m,s2)，i=1,2,…,n，则4第五节*、n维随机向量例1：假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且同服从参数p=0.4的“0-1”分布，即P{Xi=0}=0.6,P{Xi=1}=0.4(i=1,2,3,4)，求

6、行列式Z的概率分布。解：由22阶行列式表示Z=X1X4-X2X3，根据X1，X2，X3，X4的地位是等价且相互独立的，X1X4与X2X3也是独立同分布的，因此可先求出X1X4和X2X3的分布律，再求Z的分布律.记Y1=X1X4，Y2=X2X3，则Z=Y1-Y2，随机变量Y1和Y2独立同分布：P{Y1=1}=P{Y2=1}=P{X2=1,X3=1}=0.16P{Y1=0}=P{Y2=0}=1-0.16=0.845第五节*、n维随机向量例1：假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且同服从参数

7、p=0.4的“0-1”分布，即P{Xi=0}=0.6,P{Xi=1}=0.4(i=1,2,3,4)，求行列式Z的概率分布。随机变量Z=Y1-Y2有三个可能值-1，0，1.易见P{Z=-1}=P{Y1=0，Y2=1}=0.84×0.16=0.1344P{Z=1}=P{Y1=1，Y2=0}=0.16×0.84=0.1344，P{Z=0}=1-2×0.1344=0.7312于是行列式的概率分布为6第五节*、n维随机向量例2设X1,X2,…,Xn相互独立且同分布，分布函数均为F(x)，Y=max{X1,

8、X2,…,Xn}，Z=min{X1,X2,…,Xn}，分别求随机变量Y和Z的分布函数。解：FY(x)=P{Y≤x}=P{max{X1,X2,…,Xn}≤x}=P{X1≤x,X2≤x,…,Xn≤x}=P{X1≤x}∙P{X2≤x}…P{Xn≤x}=[F(x)]nP{Z>x}=P{min{X1,X2,…,Xn}>x}=P{X1>x,X2>x,…,Xn>x}=P{X1>x}∙P{X2>x}…P{Xn>x}=[1-F(x)]n∴FZ(x)=P{Z≤x}=1-P{Z>x}=1-[1-F(x)]n7第五节*