初中最短路径问题

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1、.最短路径问题（珍藏版）【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三

2、角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．连AB，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．作B关于l的对称点B＇连AB＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB＇．【问题3】作法图形

3、原理在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇，连P＇P＇与两直线交点即为M，N．，两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题4】作法图形原理在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．分别作点Q、P关于直线l1、l2的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．..【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线m∥n，在m、n，上分别求点M、N，使MN⊥m

4、，且AM+MN+BN的值最小．将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥m于M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．【问题6】作法图形原理在直线l上求两点M、N（M在左），使MN=a，并使AM+MN+NB的值最小．将点A向右平移a个长度单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇＇，连A＇＇B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇＇B+MN．【问题7】作法图形原理在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小．作点P关

5、于l1的对称点P＇，作P＇B⊥l2于B，交l2于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长．【问题8】作法图形原理A为l1上一定点，B为l2上一定点，在l2上求点M，在l1上求点N，使AM+MN+NB的值最小．作点A关于l2的对称点A＇，作点B关于l1的对称点B＇，连A＇B＇交l2于M，交l1于N．两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PA-PB＝0．P

6、A-PB的值最小．..【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA-PB的值最大．作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．PA-PB≤AB．PA-PB的最大值＝AB．【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA-PB的值最大．作B关于l的对称点B＇作直线AB＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．PA-PB≤AB＇．PA-PB最大值＝AB＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”

7、，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．【精品练习】6PE1.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）..3A.2B.2AD6C．3D．..BC1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则

8、△CEF的周长的最小值为（）3A．2B．23C．2+D．4..1.四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（）A．120°B．130°C．110°D．140°22.如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC