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1、第五章概率和概率分布1本章主要内容概率离散性随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布2一、概率（一）随机试验为研究随机现象规律性，往往进行试验。例如：1.抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。2.将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。3.抛一枚骰子，观察出现的点数。4.记录车站售票处一天内售出的车票数。5.在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。6.记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。3这些试验都具有以下的特点：可重复性：可在相同条件下重复进行随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。可预知性：试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果结果不止一个，并且能事先
2、明确试验的所有可能结果；在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Randomexperiment)，表示为E。4（二）事件必然事件：某件事情在一次试验中一定发生如：“在一副扑克牌中任摸14张，其中有两张花色是不同”就是必然事件。不可能事件：某件事情在一次试验中一定不发生如：“在一副扑克牌中任摸14张，其中没有两张花色是不同的”就是不可能事件。随机事件（A,B,C,…)：某件事情在一次试验中既可能发生，也可能不发生如：“掷一枚硬币，出现正面朝上”“扔一枚骰子，出现6点”5随机试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件：试验的每一个结果都是一
3、个事件，这些事件不可能再分解成更简单的事件，又称为基本事件。复杂事件：是由简单事件组合而成的事件。基本事件还可称为样本点，设试验有n个基本事件，分别记为(i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1,ω2,…,ωn}称为样本空间，Ω中的元素就是样本点。6例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。这六种结果是基本结果，不可以再分解成更简单的结果了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}为该试验的样本空间。“出现点数是奇数”这一事件就不是简单事件，它是由基本事件{1}，{3}和{5}组合而成的。我们通常用大写字母A，B，C，…来表示随机事件，例如，设
4、A表示“出现点数是奇数”，则A={1，3，5}；设B表示“出现点数是偶数”，则B={2，4，6}。7（三）事件的频率1.定义：设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中出现的次数(即频数)。比值称为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).2.稳定性：当试验次数n增大时，频率逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率.8实践证明：频率稳定于概率历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。9（四）概率的定义“古典概型”是最简单、最直观的概率模型。定义：若某实
5、验E满足：1.有限性：样本空间Ω＝{ω1,ω2,…,ωn}2.等可能性：P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。则称E为古典概型也叫等可能概型。设在古典概型中，试验E共有n个基本事件，事件A包含了m个基本事件，则事件A的概率为10性质11≥P(A)≥0。性质2P(Ω)=1。性质3若事件A与事件B互不相容，即AB=Ф，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。推论1不可能事件的概率为0，即：P(Ф)=0。推论2P()=1-P(A),表示A的对立事件，即它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。概率的基本性质11（五）条件概率已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的
6、条件概率，记作P(B
7、A)。定义：设A、B为两个事件，且P(B)>0，则事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率P(B
8、A)定义为：12设A、B∈Ω，P（A）>0,则P(AB)＝P(A)P(B
9、A).上式就称为事件A、B的概率乘法公式。上式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B
10、A)P(C
11、AB).一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝(A1)P(A2
12、A1)...P(An
13、A1…An－1)（六）乘法公式13（七）全概率公式设影响事件B发生的所有因素为A1，A2，…，An。如果满足：①A1，A2，…，An中任何两个事件都不会同时发生；②A1，A2
14、，…，An事件的和为必然事件。则有：14贝叶斯公式：给定互不相容事件A1，A2，…，An，这些事件的和是必然事件，且 则对任一事件B，有该公式是英国牧师贝叶斯于18世纪发明的，是对于概率运算和风险决策非常有用的一个公式。（八）贝叶斯公式15特点：某事件的发生用B表示，该事件发生的所有影响因素A1，A2，…，An为已知，P(Ai)为先验概率，反映了各种原因发生的可能性，根据以往经验取得数据。条件概率P(Ai
15、B)称为后验概率，反映B事件发生之后对各种原因Ai发生可能性大小的新信息。通过贝叶斯公式可以知道导致B事件发生的原因是什么？其中哪些因
