2-10变化率与导数 导数的计算

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1、2.10变化率与导数导数的计算一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．2(x2＋a2)解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案：C2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析：本小题主要考查导数与曲线斜率的关系．设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0，由2x0＝2得x0＝1，故

2、切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.答案：D3．设f(x)、g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：考查导数的应用及函数的性质．∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，∴由题意知，当x＜0时，[f(x)g(x)]′＞0.∴f(x)g(x)在(

3、－∞，0)上是增函数．又g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.∴x∈(－∞，－3)时，f(x)g(x)＜0；x∈(－3,0)时，f(x)g(x)＞0.又∵f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)g(x)在R上是奇函数，其图象关于原点对称．∴当x＞0且x∈(0,3)时，f(x)g(x)＜0.综上，应选D项．答案：D4．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2005(x)等于(　　)A．sinxB．－sinxC．c

4、osxD．－cosx答案：C二、填空题5．已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f＝________.解析：由已知：f′(x)＝f′cosx－sinx.则f′＝－1，因此f(x)＝－sinx＋cosx，f＝0.答案：06．曲线y＝lnx在与x轴交点的切线方程为__________．解析：由y＝lnx得，y′＝，∴y′

5、x＝1＝1，∴曲线y＝lnx在与x轴交点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝07．幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得l

6、ny＝g(x)lnf(x)，两边求导得＝g′(x)lnf(x)＋g(x)，于是y′＝f(x)g(x)·.运用此方法可以探求得知y＝x(x>0)的一个单调递增区间为________．解析：由(x>0)得：lny＝lnx，＝－lnx＋.则由y′>0，即1－lnx>0，解得00)的一个单调递增区间为(0，e)．答案：(0，e)三、解答题8．求下列函数的导数：(1)y＝xe1－cosx；(2)y＝xcosx－sinx；(3)y＝sinxcosx；(4)y＝x2ex；(5)y＝(＋1)(－1)；(6)y＝x(1

7、＋

8、x

9、)．解答：(1)∵y＝xe1－cosx，∴y′＝e1－cosx＋xe1－cosx(sinx)＝(1＋xsinx)e1－cosx.(2)∵y＝xcosx－sinx，∴y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.(3)∵y＝sinxcosx＝sin2x，∴y′＝(cos2x)·2＝cos2x.(4)∵y＝x2ex，∴y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.(5)∵y＝＝－＝(6)∵y＝x(1＋

10、x

11、)＝x(1＋)，∴y′＝1＋

12、x

13、＋x＝9．已知a、b为实数，且b＞a＞e，求证：ab＞ba.证明：考查函

14、数y＝，x∈(e，＋∞)，y′＝，当x＞e时，则y′<0，∴函数y＝在(e，＋∞)上递减，又b>a>e，∴<，即alnbba.10．利用导数证明：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n·2n－1.证明：(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn.∴[(1＋x)n]′＝C＋2Cx＋…＋nCxn－1，即n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋…＋nCxn－1，令x＝1，则C＋2C＋…＋nC＝n·2n－1.1.设函数f(x)是定义域在R上周期为2的可导函数,若f(2)=2,且＝－2，则曲线y＝f(x)在

15、点(0，f(0))处的切线方程是(　　)A．y＝－2x＋2B．y＝－4x＋2C．y＝4x＋2D．y＝－x＋2答案：B2．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，下面的不等式在R内恒成立的是(　　)A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)>xD．f(x)