第二讲偏导数

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1、第八章多元函数微分法及其应用第二讲第二讲偏导数授课题目：§8.2偏导数教学目的与要求：1、深刻理解偏导数的概念；2、会求多元函数的一阶偏导数和高阶偏导数。教学重点与难点：重点：二元函数的偏导数概念；难点：求函数的偏导数．讲授内容：一、偏导数的定义及其计算法回顾一元函数的导数的概念。对于二元函数z=f(x,y),如果只有自变量x变化,而自变量y固定,这时它就是x的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z=f(x,y)对于x的偏导数.定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y

2、0而x在x0处有增量Dx时,相应地函数有增量f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0).如果极限存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作,,,或例如.类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为,第八章多元函数微分法及其应用第二讲记作,,,或fy(x0,y0).偏导函数：如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自变量的偏导函数,记作,,,或..类似地,可定义函数

3、z=f(x,y)对y的偏导函数,记为,,zy,或..求时,只要把y暂时看作常量而对x求导数；求时，只要把x暂时看作常量而对y求导数．偏导数的概念还可推广到二元以上的函数，例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为,其中(x,y,z)是函数u=f(x,y,z)的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题．例1求z=的偏导数.解求时，把y看作常量，求时，把x看作常量，因此,第八章多元函数微分法及其应用第二讲.例2求z=x2+y2－xy在点(1,3)处的偏导数．解先求偏导函数,

4、.,.例3设,求证:.证,..例4已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证：.证因为,;,;,;所以例4说明偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商．例5二元函数第八章多元函数微分法及其应用第二讲在（0，0）可导，因为，所以，．但函数在点(0,0)并不连续．由例5可知，对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数的几何意义：fx(x0,y0)是过曲面z=f(x,y)上点M0(x0,y0,f(x0,y0))的曲线在点

5、M0处的切线Tx对x轴的斜率.fy(x0,y0)过曲面z=f(x,y)上点M0(x0,y0,f(x0,y0))的曲线在点M0处的切线Ty对y轴的斜率．课堂练习：习题8－2：1（单）．二、高阶偏导数回顾一元函数的高阶导数的概念．设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数,,那么在D内fx(x,y)、fy(x,y)都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)的二偏导数.按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数第八章多元函数微分法及其应用第二讲如果函数z=f(x,y)在区域D内

6、的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数,,,.其中,称为混合偏导数．同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．例6．求z=x3ｙ-3xy3的.二阶偏导数解,;,;＝.定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7验证函数满足方程.第八章多元函数微分法及其应用第二讲证

7、因为,所以,,,.因此.例8．证明函数满足方程,其中.证：,.同理,因此.提示：.例7和例8中的两个方程都叫拉普拉斯方程（Laplace），是数学物理方程中的重要方程。第八章多元函数微分法及其应用第二讲课外作业：P18-4、7、8