2019届高考数学二轮复习专题六函数与导数、不等式第2讲基本初等函数、函数与方程学案理

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1、第2讲　基本初等函数、函数与方程高考定位　1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真题感悟1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)A.－B.C.D.1解析　f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数.∵f(x

2、)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝.答案　C2.(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log，则a，b，c的大小关系是(　　)A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b解析　c＝log＝log23，a＝log2e，由y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，知c>a>1.又b＝ln2<1，故c>a>b.答案　D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)A.[－1，0)B.[0，＋

3、∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)12解析　函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.答案　C4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.解析　一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时

4、，y有最小值240.答案　30考点整合1.指数式与对数式的七个运算公式(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；(4)loga＝logaM－logaN；(5)logaMn＝nlogaM；(6)alogaN＝N；(7)logaN＝(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0

5、函数.3.函数的零点问题(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.12(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.4.应用函数模型解决实际问题的一般程序.热点一　基本初等函数的图象与性质【例1】(1)(2018·郑州一模)若函数y＝a

6、x

7、(a>0，且a≠1)的值域为{y

8、y≥1}，则函数y＝loga

9、x

10、的图象大致是(　　)(2)(2018·济南质检)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2

11、(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g(x)＝在R上有最大值，则a的取值范围为(　　)A.B.C.D.∪解析　(1)由于y＝a

12、x

13、的值域为{y

14、y≥1}，∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga

15、x

16、的图象关于y轴对称.因此y＝loga

17、x

18、的图象应大致为选项B.(2)∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，∴∴a≤－，∵a(a＋1)≠0，∴

19、a

20、∈∪(1，＋∞).当x≤时，g(x)＝4x∈(0，2]，又g(x)＝在R上有最大值，则当x>时，log

21、a

22、x≤2，且

23、a

24、∈，∴log

25、a

26、≤2，∴

27、a

28、

29、2≤，则

30、a

31、≤，又a≤－，∴－≤a≤－.12答案　(1)B　(2)A探究提高　1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝lnt的单调性，忽视t>0的限制条件.【训练1】(1)函数y＝ln

32、x

33、－x2的图象大致为(　　)(2)(2018·西安调研)设函数f(x)＝则满足f[f(t)]＝2f(t)的t的取值范围是________.解析　(1)易知y＝ln

34、

35、x

36、－x2是偶函数，排除