函数零点问题典例(含问题详解)

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1、实用文档函数零点问题典例(含答案)1、(1)求函数f(x)=2x--2的零点;(2)已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.①求实数a和b的值;②设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求函数g(x)的极值点.2、(1)判断函数f(x)=2-x-lg(x+1)的零点个数;(2)已知函数f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+(x>0).①若函数g(x)-m有零点,求实数m的取值范围;文案大全实用文档②确定实数t的取值范围,使得关于x的方程g(x)-f(x)=0有两个相异实根3、已知函数f(x)=2x+ln(1-x),讨论函数f(x)在定义域内

2、的零点个数.4、已知函数f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)若函数f(x)的两个零点x1,x2满足x1∈(-1,0),x2∈(1,2),求实数m的取值范围;(2)若关于x的方程f(x)=0的两根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.文案大全实用文档5、已知函数f(x)=x+,h(x)=.(1)设函数F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求函数F(x)的单调区间与极值;(2)设a∈R,解关于x的方程log4=log2h(a-x)-log2h(4-x).6、已知函数f(x)=(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若关于x的方程kf(x)=1恰有3个不

3、同的根,求实数k的取值范围.文案大全实用文档1、(1)求函数的零点,即求方程2x--2=0的根.(2)导数值为0且使导函数左右异号的点是极值点.极值点一定是导函数的零点.【解析】(1)令2x--2=0,由2x>0,方程两边同时乘以2x,得(2x)2-2×2x-1=0.由一元二次方程的求根公式,得2x=1±.由2x>0,知2x=1+.∴函数f(x)=2x--2的零点是x=log2(1+).(2)①由题设,知f′(x)=3x2+2ax+b且f′(-1)=3-2a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0.解得a=0,b=-3.②由(1),得函数f(x)=x3-3x.∴f(x)+2=(x-1)2(x+

4、2).∴方程g′(x)=0的根是x1=x2=1,x3=-2.∴函数g(x)的极值点只可能是1或-2.当x<-2时,g′(x)<0,当-20,∴-2是极值点.文案大全实用文档又当-21时,g′(x)>0,故1不是极值点.∴函数g(x)的极值点是-2.【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化,解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式.注意导数的零点的意义.2、(1)直接解方程f(x)=0有困难,可以作出函数y=2-x及y=lg(x+1)的图象,还可以用判定定理.(2)画出函数图象,结合最值与交点情况求解.【解析】(1)方法一:令f(x)=0,得

5、2-x=lg(x+1),作出函数y=2-x及y=lg(x+1)的图象(如图2-16-1),可知有一个交点.∴函数f(x)的零点有且只有一个.方法二:文案大全实用文档首先x>-1,在区间(-1,+∞)上2-x是减函数,-lg(x+1)也是减函数,∴函数f(x)在区间(-1,+∞)上为减函数且连续.∵f(0)=20-lg1=1>0,f(9)=2-9-lg10=-1<0,∴f(0)f(9)<0.∴函数f(x)在区间(-1,+∞)上有唯一零点.(2)①∵x>0,∴g(x)=x+≥2=2e.当且仅当x=e时取等号.∴函数g(x)的值域是[2e,+∞),要使函数g(x)-m有零点,则只需m≥2e.②若关

6、于x的方程g(x)-f(x)=0有两个互异的实根,即函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)的图象(如图2-16-2).3、【解析】函数f(x)的定义域为{x

7、x<1}且函数f(x)在定义域内的图象是连续的.文案大全实用文档f′(x)=2+=(x<1).令f′(x)=0,得x=.当x<时,f′(x)>0;当<x<1时,f′(x)<0∴函数f(x)在区间内为增函数,在区间内为减函数.∴当x=时,函数f(x)有最大值f=1+ln=1-ln2>0.又f(-2)=-4+ln3<0,∴f(-2)f<0.∴函数f(x)在区间内有唯一零点,即在区间内有唯一零点.又f(1-

8、e-10)=2(1-e-10)+ln(1-1+e-10)=-8-2e-10<0,∴f(1-e-10)f<0.∴函数f(x)在区间内有唯一的零点,即在区间内有唯一零点.∴函数f(x)在区间(-∞,1)内有且只有两个零点.4、【解析】文案大全实用文档(1)根据函数f(x)的图象,得化简,得-<m<-.5、【解析】(1)函数F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2=-x3+12x+9(x≥0),∴F′(x)=-3

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