函数零点问题典例(含答案).doc

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1、函数零点问题典例（含答案）1、(1)求函数f(x)＝2x－－2的零点；(2)已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．①求实数a和b的值；②设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求函数g(x)的极值点．2、(1)判断函数f(x)＝2－x－lg(x＋1)的零点个数；(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋(x>0)．①若函数g(x)－m有零点，求实数m的取值范围；②确定实数t的取值范围，使得关于x的方程g(x)－f(x)＝0有两个相异实根3、已知函数f(x)＝2x＋ln(1－x)，讨论函数f(x)在

2、定义域内的零点个数．4、已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.(1)若函数f(x)的两个零点x1，x2满足x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，求实数m的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)＝0的两根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围．5、已知函数f(x)＝x＋，h(x)＝.(1)设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求函数F(x)的单调区间与极值；(2)设a∈R，解关于x的方程log4＝log2h(a－x)－log2h(4－x)．6、已知函数f(x)＝(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若关于x的方程

3、kf(x)＝1恰有3个不同的根，求实数k的取值范围．1、(1)求函数的零点，即求方程2x－－2＝0的根．(2)导数值为0且使导函数左右异号的点是极值点．极值点一定是导函数的零点．【解析】(1)令2x－－2＝0，由2x>0，方程两边同时乘以2x，得(2x)2－2×2x－1＝0.由一元二次方程的求根公式，得2x＝1±.由2x>0，知2x＝1＋.∴函数f(x)＝2x－－2的零点是x＝log2(1＋)．(2)①由题设，知f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0.解得a＝0，b＝－3.②由(1)，得函数f(x)＝x3－

4、3x.∴f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)．∴方程g′(x)＝0的根是x1＝x2＝1，x3＝－2.∴函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0，当－20，∴－2是极值点．又当－21时，g′(x)>0，故1不是极值点．∴函数g(x)的极值点是－2.【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化，解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式．注意导数的零点的意义．2、(1)直接解方程f(x)＝0有困难，可以作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象，还可以用判定定理．(2)画出函数图象，结合最值

5、与交点情况求解．【解析】(1)方法一：令f(x)＝0，得2－x＝lg(x＋1)，作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象(如图2－16－1)，可知有一个交点．∴函数f(x)的零点有且只有一个．方法二：首先x＞－1，在区间(－1，＋∞)上2－x是减函数，－lg(x＋1)也是减函数，∴函数f(x)在区间(－1，＋∞)上为减函数且连续．∵f(0)＝20－lg1＝1＞0,f(9)＝2－9－lg10＝－1＜0，∴f(0)f(9)＜0.∴函数f(x)在区间(－1，＋∞)上有唯一零点．(2)①∵x>0，∴g(x)＝x＋≥2＝2e.当且仅当x＝e时取等号．∴函数g(x)的

6、值域是[2e，＋∞)，要使函数g(x)－m有零点，则只需m≥2e.②若关于x的方程g(x)－f(x)＝0有两个互异的实根，即函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的图象(如图2－16－2)．3、【解析】函数f(x)的定义域为{xx＜1}且函数f(x)在定义域内的图象是连续的．f′(x)＝2＋＝(x＜1)．令f′(x)＝0,得x＝.当x＜时，f′(x)＞0；当＜x＜1时，f′(x)＜0∴函数f(x)在区间内为增函数，在区间内为减函数．∴当x＝时，函数f(x)有最大值f＝1＋ln＝1－ln2＞0.又f(－2)＝－4＋ln3＜0,

7、∴f(－2)f＜0.∴函数f(x)在区间内有唯一零点，即在区间内有唯一零点．又f(1－e－10)＝2(1－e－10)＋ln(1－1＋e－10)＝－8－2e－10＜0，∴f(1－e－10)f＜0.∴函数f(x)在区间内有唯一的零点，即在区间内有唯一零点．∴函数f(x)在区间(－∞，1)内有且只有两个零点．4、【解析】(1)根据函数f(x)的图象，得化简，得－＜m＜－.5、【解析】(1)函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2＝－x3＋12x＋9(x≥0)，∴F′(x)＝－3x2＋12.令F′(x)＝0，得x＝2(x＝－2舍去)．当x∈(0,2)时，F′(x

8、)>0；当x∈(2，＋∞)时，F′(x