几何证明中的几种技巧(教师用)

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1、几何证明中的几种技巧一．角平分线－－轴对称１．已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分，于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．　　　分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF的中位线．∴．２．已知在ΔABC中，，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．　　　　　　分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：，，．∴，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．３．已知在ΔABC中，，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．　　　　　分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD≌

2、ΔEBD．∴ＡＤ＝ＥＤ，．由已知可得：，．由∵ＢＦ＝ＢＤ，∴．由三角形外角性质可得：．∴ＣＦ＝ＤＦ．∵，∴，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，-10-∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．4．已知在ΔABC中，，，ＡＦ平分，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ，交ＡＢ于Ｄ．求　证：ＡＣ＝ＡＤ．分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ．易证ΔAGF≌ΔAEF．∴ＥＦ＝ＦＧ．则易证ΔGFC≌ΔEFD．∴ＧＣ＝ＥＤ．∴ＡＣ＝ＡＤ．５．如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ．（１）求证：（２）若（a)ＢＤ与ＣＥ分别是的内

3、角平分线（如图（２））；(b)ＢＤ是ΔABC的内角平分线，ＣＥ是ΔABC的外角平分线（如图（３））．则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．　　　　图（１）　　　　　　　　图（２）　　　　　　　　　图（３）分析：图（１）中易证ΔABF≌ΔIBF及ΔACG≌ΔHCG．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH的中位线．∴．同理可得图（２）中；图（３）中６．如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：Ｂ

4、Ｍ＝ＣＮ．-10-　　　　　　　　　分析：连接ＤＢ与ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD≌ΔAND．∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．６．如图，在ΔABC中，，ＡＤ平分．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．　　　　　　分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．则有ΔABD≌ΔAED．∴ＢＤ＝ＤＥ．∴．又∵，∴．∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．７．在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且．求的度数．　　　　分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ．∴．∴有ΔCBF≌ΔCDA（ＳＡＳ）．∴．∴．二．旋转１．如图

5、，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．求证：．-10-　　　　分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转得．∴．易证ΔAGE≌ΔAFE．∴２如图，在中，，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ为ＡＣ中点．ＡＢ的延长线上任意一点Ｅ．ＦＤ⊥ＥＤ交ＢＣ延长线于Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．　　　　　　分析：连接ＢＤ．则可视为绕Ｄ顺时针旋转所得．易证ＢＤ⊥ＤＣ与ＢＤ＝ＣＤ．则．又易证．∴ΔBDE≌ΔCDF．∴ＤＥ＝ＤＦ．３．如图，点Ｅ在ΔABC外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若，ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC≌ΔADE．分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转所得．则有．∵，

6、且．∴．又∵．∴．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC≌ΔADE．-10-３．如图，ΔABC与ΔEDC均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．分析：将RtΔBCD视为RtΔACE绕Ｃ顺时针旋转即可．４．如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转即可．∵．∴．又∵，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．三．平移１．如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１５．求梯形ＡＢＣＤ的中位线长．　　　　　分

7、析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得-10-．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．１．已知在ΔABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＡＢ上一点，Ｅ为ＡＣ延长线一点，且ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＤＭ＝ＥＭ．　　　　　　　　　分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．∴四边形ＤＣＥＦ为．∴ＤＭ＝ＥＭ．四．中点的联想（一）倍长１．已知，ＡＤ为的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．　　　　　分析：延长ＡＤ