资源描述：
《数学高考总复习基本不等式与不等式的证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、数学高考总复习：基本不等式与不等式的证明 编稿：林景飞 审稿；张扬 责编：严春梅知识网络 目标认知考试大纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； 2．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ①；②； 3．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. 4．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.会用数学归纳法证明贝努 利不等式：为大于1的
2、正整数）；了解当n为实数时贝努利不等式也 成立. 5．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.重点： 会用基本不等式、柯西不等式等解决简单的最大（小）值问题；了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.难点： 利用基本不等式、柯西不等式求最大值、最小值，特别注意等号成立条件；不等式的证明。知识要点梳理知识点一：绝对值不等式的性质 1．； 2．；知识点二：基本不等式 1、如果那么当且仅当时取“=”号）. 2、如果那么（当且仅当时
3、取“=”号）. 3、如果，那么（当且仅当时取“=”号） 4、如果，那么（当且仅当时取“=”号） 5、若a1,a2,....,an∈R+，则:≥(n∈N) 当且仅当a1=a2=.......=an时，取等号。知识点三：柯西不等式1.二维形式的柯西不等式： （1）向量形式： 设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等 号成立。 （2）代数形式： ①若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； ②若a、b、c、d都是正实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成
4、立； ③若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； 注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （3）三角形式： 设，则。2.三维形式的柯西不等式（代数形式）： 若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。3.一般形式的柯西不等式（代数形式）： 若都是实数，则 ， 当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。知识点四：不等式的证明1．不等式证明的理论依据： 不等式的概念和性质，实数的性质，以及一些基本的不等式： （1）若a∈R,则
5、a
6、≥0,a2≥
7、0. （2）若a,b∈R,则a2+b2≥2ab. （3）若a,b∈R+,则≥ （4）若a,b同号，则+≥2. （5）若a,b,c∈R+,则≥ （6）若a,b∈R,则
8、
9、a
10、-
11、b
12、
13、≤
14、a+b
15、≤
16、a
17、+
18、b
19、2．证明不等式的基本方法： 比较法(作差、作商)，综合法，分析法，数学归纳法及反证法；另外还有如换元法、放缩法等。规律方法指导 （1）基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则 考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有
20、最小值，对 于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。 （2）在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 （3）在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用,用放缩法证明时放大或缩小应适度。 （4）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使
21、一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。利 用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。经典例题精析类型一：利用基本不等式求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）； （2），； （3）， （4），； （5）， 思路点拨：要求最值，根据基本不等式，需要对条件进行必要的变形. 解析： （1）∵，∴，∴ 当且仅当，即时取等号 ∴时， （2）∵，∴ 当且仅当即时，. （3）∵，∴ ∴ 当且仅当即时，. （
22、4）∵，∴ ∴ 当且仅当即时，. （5）∵，∴ ∴ 当且仅当即时， 总结升华： 1．用基本不等式求最值，一般要先对式子进行变形配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用 的方法，要学会观察学会变形.变量的范围是不可忽视的. 2．在利用平均值不等式求二元函数的最值问题时，注意通过消元，化
