专题5.1 平面向量的概念及线性运算（教学案）-2014年高考数学（理）一轮复习精品资料（解析版）

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1、【重点知识梳理】一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：(2)结合律：减法求与的相反向量－的和的运算叫做与的差三角形法则三、向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫

2、向量的数乘，记作λ学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!18联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898，它的长度与方向规定如下：①

3、λ

4、＝

5、λ

6、

7、

8、；②当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①λ(μ)＝(λμ)；②(λ＋μ)＝λ＋μ；③λ(＋)＝λ＋λ.四、共线向量定理向量(≠)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得＝λ.【特别提醒】共线向量定理

9、应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“≠”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．【高频考点突破】考点一向量的有关概念例1、给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若与同向，且

10、

11、>

12、

13、，则>；④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．其中假命题的个数为(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．2C．3

14、D．4学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!18联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898④不正确．当λ＝μ＝0时，与可以为任意向量，满足λ＝μ，但与不一定共线．【答案】C【变式探究】给出下列命题：①＝的充要条件是

15、

16、＝

17、

18、且∥；②若向量与同向，且

19、

20、>

21、

22、，则>；③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反；⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑥任一向量与它的

23、相反向量不相等．其中真命题的序号是________．考点二向量的线性运算例2、　(1)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)A．0　　　　　　　B．C．D．学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!18联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)A.B.C．－D．－【变式探究】平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝，＝，用、b表示、、.学科网学易学

24、生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!18联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898分析：求向量的线性表示式．一是直接运用三角形法则与平行四边形法则来求，二是应用平行考点三、共线向量例3、设两个非零向量与不共线．(1)若＝＋，＝2＋8，＝3(－)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k＋和＋k共线．学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!18联系地址：北京市房山区星城北

25、里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898∵，是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，即k2－1＝0.∴k＝±1.【变式探究】设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．考点四考查综合应用例4、如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和B