2014版高考数学一轮复习 5.1 平面向量的概念及线性运算 理 苏教版

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1、5.1平面向量的概念及线性运算1．设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值是________．解析　因为＝＋＝2a－b，又A、B、D三点共线，所以存在实数λ，使＝λ.即，∴p＝－1.答案　－12．在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.解析　如图设＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b，所以＋＝(a＋b)＝，即＝＋.所以λ＝μ＝，λ＋μ＝.答案　3.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ=.解析=+=-=-=-

2、(-)=+,∴λ=.答案4．如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋2＋2＝0，则△ABC和△BOC的面积之比为________．解析　以，为邻边作▱OBEC，OE交BC于D，如图，由已知条件2＋2＝－，则＝2＝4，即＝5，因此＝＝.答案　5∶15．在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若＋＋m＝0，则实数m的值为________．解析　由＋＋m＝0，得－＋－－m＝0，即－(2＋m)＋＋＝0.又＋＋＝0，所以－(2＋m)＝1，m＝－3.答案　－36．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的_

3、_______心．解析　设D是BC边中点，则＋＝2，于是由条件得＝λ，即P在中线所在直线AD上，所以P点轨迹必过△ABC的重心．答案　重心7．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.解析　依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，所以解得k＝，λ＝－.答案　－8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足

4、－

5、＝

6、＋－2

7、，则△ABC的形状为________．解析　(等价转化法)＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴

8、＋

9、＝

10、－

11、.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角

12、三角形．答案　直角三角形【点评】本题采用的是等价转化法，将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.9．如图所示，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－＋×＝－＋(＋)＝－＋＝－a＋b.答案　－a＋b10.已知AD是△ABC的中线,=λ+μ(λ,μ∈R),那么λ+μ=.解析=+=+=+(-)=+.答案111．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．解析　

13、如图，设＝，＝，以，为邻边构作▱AMDN，则该▱AMDN是边长为1的菱形，所以AD平分∠BAC，于是由＝λ知动点P必过△ABC的内心．答案　内12．e1，e2是平面内两个不共线的向量，已知＝e1－ke2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2.若A，B，D三点共线，则k的值是________．解析＝－＝e1－2e2，又A、B、D三点共线，则＝λ，即∴k＝2.答案213．在△ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB，AC于M，N两点，设＝x，＝y(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．解析　因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以＝＝(＋)．又＝，＝，所以＝＋

14、.因为M，E，N三点共线，所以＋＝1，所以4x＋y＝(4x＋y)＝≥＝.答案　二、解答题14．设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；(3)设＝ma，＝nb，＝αa＋βb，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，求证：＋＝1.解析(1)证明：∵＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，∴与共线．又有公共端点B，∴A、B、C三点共线．(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得(

15、8a＋kb)＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，∵a与b不共线，∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.(3)证明：∵M、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，∴＝＝a＋b.∵a、b不共线，∴∴＋＝＋＝1.15．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．解析　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2，因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在λ、μ∈R，使＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝－＝