与几何有关的排列组合体的解法

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1、与几何有关的排列组合题的解法排列组合是高考的必考内容，而与几何有关的排列组合题在历年的高考中也经常出现，此类题的常用解法主要有以下几种：一.总体淘汰法先在弱化条件下算出总数，再严格筛选，把少数不合条件的除去。例1.（1996年全国高考题）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_________________个。解：从7个点中任取3个点，（不管是否可组成三角形）其取法有种，在这些取法中三点共线的情况有3种，所以共有三角形个。例2.（2002年全国高考题）从正方体的6个面中选取3个

2、面，其中有2个面不相邻的选法共有________________种。分析：此题正面思考情形较多，从反面思考，则转化为总体中除去3个面两两相邻的情形。解：6个面中取3个共有个，其中3个面两两相邻只有在共顶点时才出现，共有8个，故所有不同选法有个。二.利用已有的数学模型例3.在某个城市中M、N两点之间有整齐的道路网，如图所示，若各个小矩形的边都表示街道，从M到N处要使路程最近，则共有多少种走法？分析：把前图的方格看成一张地图，每个小矩形的边当成一步，则从M到N至少要走6步，其中必须向北走2步、向东走4步。

3、我们看如下的模型：将所走的6步用6张卡片表示，若卡片上写“北”字则表示向北走，现将2张写有“北”字的卡片和4张写有“东”字的卡片分别放入6个小盒子中，每个盒子里放一张，每一种放法对应着一种走法。如这样一种放法：“东、东、东、北、北、东”则表示“从M处向东走3步，再向北走2步，然后向东走一步到N”。在这些卡片中只要把写有“北”字（或“东”字）的卡片放好，余下的盒子里每一个放一张“东”（或“北”）即可，放法有种或种（卡片上只要字同则认为无区别）。推广：将上例中的个方格推广到个方格，这时从M到N的最短路程的

4、走法是：。三.特征分析法抓住几何图形的某一特征，寻找突破口。例4.圆周上有20个不同的点，过任意2点联结成一条弦，这些弦在圆内的交点最多只能有_____________________个。分析：圆上20个点相互联结所产生的弦是相当多的，从这些弦中任取两条，则有些有交点，有些无交点，有些交点可能重合了，解此题的关键是抓住其本质特征进行分析，如果圆内某点是两弦的交点，则此两弦与圆有四个交点，联结这四点则得到一圆内接四边形，反之，从圆上任取四点组成圆内接四边形，这个四边形的两对角线有且只有一个交点，若不考虑

5、某些交点重合，则交点最多可有个。例5.（2004年安徽省春招卷理9）直角坐标系平面上，平行直线，与平行直线组成的图形中矩形共有（）A.25个B.36个C.100个D.225个解：6横6纵的12条直线垂直相交共有36个点，在这36个点中任取2个点连成线段，则以这条线段为对角线的矩形最多有一个，当这两点处在同一直线上时，则不能成为矩形的对角线。又因矩形有两条对角线，所以在利用对角线确定的这些矩形中，有一半是重复计数。故矩形总数有个。注：：例4的特征是圆上四点的连线最多有一个交点，例5的特征是用对角线确定矩

6、形，其实在电脑绘图中早已使用了用对角线确定矩形的方法。例析立体几何中的排列组合问题春晖中学过月圆在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。1点1．1共面的点例1（1997年全国高考（文））四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个

7、点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）A．30种B．33种C．36种D．39种解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。所以与点A共面的四点组合共有个。答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。1．2不共面的点例2（199

8、7年全国高考（理））四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种解析：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。答案：D。点评：此题难度很大，是