一道与正方形有关的几何题的几种解法

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1、一道与正方形有关的几何题的几种解法　　同学们自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心，归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.那么如何培养同学们的创新能力呢？一题多解是培养创新意识的有效途径.下面对一道与正方形有关的题目作一题多解，希望对提高同学们的创新能力有所帮助.　　如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F.求证：AE=EF.　　图1　　方法一：构造全等三角形　　证明：如图2，在AB上取一点H，使BH=BE，连接EH.　　图2　　因为∠B=90°，所以∠

2、BHE=∠BEH=45°.　　所以∠AHE=135°.　　因为CF平分∠DCG，　　所以∠DCF=45°，所以∠ECF=90°+45°=135°.　　即∠AHE=∠ECF.　　因为AB=BC，所以AB-BH=BC-BE.　　即AH=EC.　　因为AE⊥EF，　　所以∠AEB+∠FEC=90°.　　又因为∠BAE+∠BEA=90°，所以∠BAE=∠CEF.　　所以△AHE≌△FCE，所以AE=EF.　　方法二：利用等角对等边的性质　　证明：如图3，延长FC交AB的延长线于点H，连接EH.　　图3　　因为FC平分∠DCG，所以∠BCH=∠FCG=45°.　　又因为∠CB

3、H=∠ABC=90°，所以∠BHC=45°.　　所以BH=BC=AB，所以BE是AH的垂直平分线.　　即AE=EH，所以∠1=∠2.　　又因为AE⊥EF，所以∠3+∠4=90°.　　因为∠1+∠3=90°，所以∠1=∠4，所以∠2=∠4.　　又因为∠4+∠F=45°，∠2+∠EHC=45°，　　所以∠F=∠EHC，所以EF=EH，　　即AE=EF.　　方法三：构造辅助圆　　证明：如图4，连接AC、AF.　　图4　　因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD=45°.　　又因为CF平分∠DCG，所以∠DCF=45°.　　即∠ACF=90°.　　又因为∠AEF=90°，　

4、　易知点A、E、C、F在以AF为直径的圆上.　　根据同弧所对的圆周角相等，得∠AFE=∠ACE=45°.　　所以∠EAF=45°，所以AE=EF.　　方法四：利用对称性　　证明：如图5，作△ECF关于BG的对称图形△ECH.　　连接AC，易知A、C、H三点共线.　　图5　　因为AE⊥EF，所以∠3+∠5=90°.　　又因为∠2+∠5=90°，所以∠2=∠3=∠4.　　因为∠1+∠2=45°，∠4+∠H=45°，　　所以∠1=∠H，所以AE=EH.　　又因为EF=HE，所以AE=EF.　　方法五：利用勾股定理　　证明：如图6，过F作FH⊥BG，垂足为H.　　图6　　设

5、AB=BC=a，EC=b，则BE=a-b，　　设FH=CH=c，则EH=b+c.　　在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=a2+（a-b）2.　　在Rt△EFH中，EF2=FH2+EH2=c2+（b+c）2.　　因为△ABE∽△EFH，所以■=■，　　即■=■，　　整理得a-b=c，a=b+c.　　即a2+（a-b）2=a2+c2，　　c2+（b+c）2=c2+a2，　　所以AE2=EF2，即AE=EF.　　创新不是简单的重复、模仿.同学们在解题时，要充分思考，从不同的角度、不同的途径、使用不同的方法得到答案，然后分析每一种证法，从中进行解法优劣的比较与取舍，从

6、而培养同学们的积极性、主动性和创新能力.