高压锅地销量地三种数学模型地研究

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1、实用文档辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期09-10学年1学期姓名刘思奇梁景龙马宝强专业涉外机械班级07-2课程名称数学建模论文题目高压锅的销量评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师时间08年月日备注文案大全实用文档高压锅的销售量一、摘要本文通过对从1981到1993年高压锅在某地的销量的研究，分别建立指数增长模型、Logistic组织增长模型、Gompertz模型，通过线性回归，采用最小二乘法与三点微分法来确定参数系数，来研究高压锅销量的增长率的变化，以此来预测未来该

2、地区高压锅的销量的增长率的变化趋势。同时对三种不通模型的所得到的结果进行比较，来验证三种模型应用的范围。二、问题背景Logistic增长曲线模型和Gompertz增长曲线模型是计量经济学等学科中的两个常用模型，可以用来拟合销售量的增长趋势。记Logistic增长曲线模型为，记Gompertz增长曲线模型为，这两个模型中L的经济意义都是销售量的上限。表中给出的是某地区高压锅的销售量（单位：万台）。高压锅的销售量（单位：万台）年份ty年份ty1981043.65198871238.7519821109.86198981560.0019832187.21199091824.29198433

3、12.671991102199.0019854496.581992112438.8919865707.651993122737.7119876960.25表1要求：（1）运用适当的方法，建立高压锅的销售量模型，并作出模型的分析与检验。（2）Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型吗？如果是可线性化模型，取L=3000，建立Logistic的线性回归模型。利用线性回归模型所得到的a和k的估计值和L=3000作为Logistic模型的拟合初值，对Logistic模型做非线性回归。（3）拟合Gompertz模型。（4）将几个模型作出比较与分析。三、模型假设由于表中的数据都是逐年增长的

4、，所以我们很容易想到建立指数增长模型，这其中我们假设高压锅销量的增长率为常数，且销量函数为连续函数。但是考虑到消费人群数量的限制，高压锅的销量不会无限增长，以此我们在第二次讨论中建立Logistic阻滞增长模型，其中我们依然假设销量函数为连续函数。在Gompertz模型中也是假设销量函数为连续函数来言进行研究。文案大全实用文档四、模型的建立与求解1．指数增长模型表中的数据都是逐年增长的，所以我们很容易想到建立指数增长模型，记今年的高压锅销量为,年后的销量为，年增长率为，则显然这个公式的基本条件是年增长率保持不变。1.1模型建立记时刻时的高压锅销量为，由于是一个很大的整数。为了利用微积

5、分这一数学工具，将视为连续可微函数。记时刻的人口为。假设高压锅的销量增长率为常数，即单位时间内的增量等于乘以。考虑到到时间内高压锅的增量，显然有令，得到满足的微分方程：由这方程很容易解出式表示高压锅的销量将按指数规律随时间无限增长，为指数增长模型。1.2参数估计式的参数可用表1的数据估计。为了利用线性最小二乘法，将取对数，可得以年的数据拟合式，用MATLAB软件通过表2的程序计算可得所即文案大全实用文档t=0:11;y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.56960.251238.751560.001824.292199.002438.89];z=lo

6、g(y);[p,s]=polyfit(t,z,1);k=p(1),a=p(2)，y0=exp(a)表2将全部数据（）拟合式，得1.3结果分析将上述模型在MATLAB中与实际数据进行拟合后作图得图1、图2（+号是实际数据，曲线是计算结果）。可以看出，用这个模型基本上能够描述1990年以前的高压锅的销量增长，但是从此以后的，高压锅的销量增长明显变慢，这个模型就不再适合了。图1文案大全实用文档图22.Logistic模型一般来说，当开始的时候，高压锅的销量基数较小，增长较快，增长率较大；当高压锅的销量基数达到一定的数量后，增长就慢下来，即增长率减小。而且由于消费人群的数量不会有很大变化，高

7、压锅的更新换代有事很慢的一件事，所以这些因素都就阻滞高压锅销量的增长，所以我们就就采用Logistic模型，来改进我们的模型。2.1模型建立阻滞作用主要体现在对高压锅销量的增长率的影响上，是得随高压锅销量基数的增大而下降。若将表示为销量的函数，则它应是减函数。于是方程写作对的一个简单的假定是，设为的线性函数，即，这里称为固有增长率，表示高压锅的销量基数很少时的增长率。为了确定系数的意义，引入所有人类所需要的高压锅的最大数量，称为高压锅的最大需求量。当文案大