立体几何证明题专题(教师版)

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1、立体几何证明题考点1：点线面的位置关系及平面的性质例1.下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________．【解析】　由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个

2、交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错．【答案】　④2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(　　)A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂

3、直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案　B解析　对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线．对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条．对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．213.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案　C解析　若c

4、与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾．考点2：共点、共线、共面问题例1.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　)【解析】　①在A中易证PS∥QR，∴P、Q、R、S四点共面．②在C中易证PQ∥SR，∴P、Q、R、S四点共面．③在D中，∵QR⊂平面ABC，PS∩面ABC＝P且P∉QR，∴直线PS与QR为异面直线．∴P、Q、R、S四点不共面．④在B中P、Q、R、S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS、NR交于直线B1C1上一点，∴P、N、R、S四点共面，

5、设为α.可证PS∥QN，∴P、Q、N、S四点共面，设为β.∵α、β都经过P、N、S三点，∴α与β重合，∴P、Q、R、S四点共面．【答案】　D2.空间四点中，三点共线是这四点共面的(　　)A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　A3.下面三条直线一定共面的是(　　)A．a、b、c两两平行B．a、b、c两两相交C．a∥b，c与a、b均相交D．a、b、c两两垂直答案　C4.已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一点．【解析】　设α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，21由a⊂β，b

6、⊂β，则a∩b＝O，如图(1)，或a∥b，如图(2)，若a∩b＝O，O∈a，a⊂α，则O∈α，O∈b，b⊂γ，则O∈γ，又γ∩α＝c，因此O∈c；若a∥b，a⊄γ，b⊂γ，则a∥γ，又a⊂α，α∩γ＝c，则a∥c.因此三条交线相交于一点或互相平行．5.如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝.(1)求证：三条直线EF，GH，AC交于一点．(2)若在本题中，＝＝2，＝＝3，其他条件不变．求证：EH、FG、BD三线共点．【解析】　(1)∵E，H分别是AB，AD的中点，∴由中位线定理可

7、知，EH綊BD.又∵＝＝，∴在△CBD中，FG∥BD，且FG＝BD.∴由公理4知，EH∥FG，且EHHG.∴四边形EFGH为梯形．设EH与FG交于点P，则P∈平面ABD，P∈平面BCD

8、.21∴P在两平面的交线BD上．∴EH、FG、BD三线共点．考点3：异面直线的夹角1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．求BD1与