导数专题(五)证明题教师版

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1、导数专题（六）——证明题一、课前练习（2014石景山一模理）18．（本小题满分13分）（证明、方程的根、问题转化）设函数.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点作曲线的切线，证明:切点的横坐标为.18．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）时,，，……………1分，的减区间为,增区间.……………3分（Ⅱ）在区间上是减函数，对任意恒成立，即对任意恒成立，……………5分对任意恒成立，令，，……………7分易知在单调递减，..……………8分（Ⅲ）设切点为，，切线的斜率，又

2、切线过原点，，存在性：满足方程，所以，是方程的根.……………11分再证唯一性：设，，在单调递增，且，所以方程有唯一解.综上，切点的横坐标为.……………13分（2017海淀上学期期末理）19.（本小题满分14分）（零点问题、利用前问结论）已知函数．（Ⅰ）若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设函数，求证：当时，在上存在极小值．19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由得.由已知曲线存在斜率为的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数的取值范围.（

3、Ⅱ）由，，可得当时，，所以函数的增区间为；当时，若，，若，，所以此时函数的增区间为，减区间为.（Ⅲ）由及题设得，由可得，由(Ⅱ)可知函数在上递增，所以，取，显然，，所以存在满足，即存在满足，所以在区间上的情况如下：0极小所以当时，在上存在极小值.（本题所取的特殊值不唯一，注意到），因此只需要即可）18．（本小题满分13分）已知函数，且.（Ⅰ）求的值及的单调区间；（Ⅱ）若关于的方程存在两不相等的正实数根，，证明：.18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对求导，得，………………2分所以，解得.………………3分故，

4、.令，得.当变化时，与的变化情况如下表所示：00↘↗所以函数的单调减区间为，单调增区间为.………………5分（Ⅱ）解：方程，即为，设函数.………………6分求导，得．由，解得，或.………………7分所以当变化时，与的变化情况如下表所示：0↘↗所以函数在单调递减，在上单调递增.………………9分由，得.又因为，所以.不妨设（其中为的两个正实数根），因为函数在单调递减，且，，所以.………………11分同理根据函数在上单调递增，且，可得，所以，即.………………13分二、课堂练习（2016东城一模理）（18）（本小题共14分

5、）（利用前问结论）设函数，．（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）求证：当时，．（18）（共14分）－+↘↗解：（Ⅰ）当时，则，则.令得所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；　　　当时，．　……4分（Ⅱ）因为，所以恒成立，等价于恒成立．设，，得，当时，，所以　在上单调递减，所以　时，．因为恒成立，所以．……11分（Ⅲ）当时，，等价于．设，．求导，得．由（Ⅰ）可知，时，恒成立．所以时，，有．所以．所以在上单调递增，当时，．因此当时，．……14分（2016西城一模文）20．

6、（本小题满分13分）（利用前问结论放缩）已知函数，且.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方.20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对求导，得，…………………1分所以，解得，所以.…………………3分（Ⅱ）解：由，得，因为，所以对于任意，都有.…………………4分设，则.令，解得.…………………5分当x变化时，与的变化情况如下表：极大值所以当时，.…………………7分因为对于任意，都有成立，所以.所以的最小值为.…………………8分（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方

7、”等价于“”，即要证，所以只要证.由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）.所以只要证明当时，即可.…………………10分设，所以，令，解得.由，得，所以在上为增函数.所以，即.所以.故函数的图象在直线的下方.…………