第十一篇 计数原理第3讲 二项式定理

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1、第3讲　二项式定理【2013年高考会这样考】1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【复习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的系数C(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．式中的Can－rbr叫二项展开式的通项，用T

2、r＋1表示，即通项Tr＋1＝Can－rbr.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时

3、，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn，Cn取得最大值．(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学

4、归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．双基自测1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)．A．80B．40C．20D．

5、10解析　Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，当r＝2时，T3＝40x2.答案　B2．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　)．A．45B．55C．70D．80解析　(1＋)5＝1＋5＋10()2＋10()3＋5()4＋()5＝41＋29由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70.答案　C3．(人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)．A．9B．8C．7D．6解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0令x＝

6、－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16∴a0＋a2＋a4＝8.答案　B4．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　　)．A．6B．7C．8D．9解析　Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr由已知条件35C＝36C即C＝3C＝3整理得n＝7答案　B5．(2011·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.解析　Tr＋1＝Cx21－r(－1)r＝(－1)rCx21－r由题意知a10，a11分别是含

7、x10和x11项的系数，所以a10＝－C，a11＝C，∴a10＋a11＝C－C＝0.答案　0考向一　二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】►已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[审题视点]准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．解　通项公式为Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝(－3)rCx.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，解得n＝10.(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，∴x2的项的系数为C(－3)2＝405.(3)由题意

8、知令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k，∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．【训练1】(2011·山东)若6展开式的