6抽象函数的周期性

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1、抽象函数的周期和对称性一、关于周期性的结论1./(x+T)=/(x)S：/(兀)的周期为72./(X+6Z)=/(%+/?)型：/(X)的周期为b-a.证明：/(x+a)=f(x+b)=>/(x)=f(x^b-a)。3.f(x+a)=-f(x)型：/(x)的周期为2a。证明:f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=-[-/(%)]=/(%)4.f(x+d)=±—!—型：/(x)的周期为2d。fM证明:f(x+2a)=f[(x+a)+a]=]/(x+Q)11/(x)5.f(x+a)=l+/(x)l-/w型:/（x）的周期为4—]11+/(兀)证明：介

2、+2沪畑+。）+无寻册1-/(兀)二__Li_1+/(兀)/(兀)1-/U)•••介+4。）2。）+2心-"十"小/（X）6.两线对称型：函数/（兀）关于直线x=a.x=h对称，则于（兀）的周期为

3、2/?-2ao证明：=>/(2a-x)=f(2b-x)=>/(x)=f(x+2b-2a)。卩O)=/(2a_x)，f(x)=f(2b-x)7.一线一点对称型：函数/（兀）关于直线兀二。及点（方,0）对称，则/（兀）的周期为他一4«

4、o证明:f(x)=f(2a-x)f(2b-x)=-f(x)=>f(2a-x)=-f(2b-x)=>/(x+2b—2a)=-/(x),所以f(

5、x+4b—4a)=f[(x+2b—2a)+2b—2a]=-/(x+2b-2a)--=/(x)8.两点对称型：函数/（兀）关于点（。,0）、0,0）对称,则/（兀）的周期为

6、2/7-26/

7、o证明:f(2a-x)=-f(x)f(2b-x)=-f(x)=>/(2a-x)=f(2b-x)=>f(x)=f(x+2b-2a)。关于对称性的结论(1)若f(x)=f(a-x),则/(兀)关于x=-对称2(2)若f(a+x)=f(a一x)，则f(x)关于x=a对称若f(a+x)=f(b-x).则/(x)关于x=—对称习题1.设函数y=/(x)是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线兀=

8、2对称，已知兀丘［一2,2］时，函数/(x)=-x2+l,Mxg［-6,-2］时，/(兀)=.2.在7?上定义的函数/(兀)是偶函数，且/(x)=/(2-x),若/(%)在区间［1,2］上是减函数，则/(兀)()A.在区间［-2,-1］上是增函数，在区间［3,4］上是增函数B.在区间［-2,-1］上是增函数，在区间［3,4］±是减函数C.在区间［-2,-1］上是减函数，在区间［3,4］上是增函数D.在区间［-2,-1］上是减函数，在区间［3,4］上是减函数3.设/(%)是定义在/?上的奇函数，且歹=fx)的图象关于直线x=-对称，则/(D+/(2)+/⑶+/(4)+

9、/(5)=•4.已知定义在/?上的奇函数/(兀)满足/(%+2)=-/(%),则/(6)的值为()A.-1B.0C.1D.245.已知偶函数y=f(x)满足/(x+l)=/(—1),且当xw［—1,0］时，/(x)=3A+-,则/(log,5)的值等于()A.-16.设/(兀)为/?上的奇函数，且/(-x)+/(x+3)=0,若/(—1)=一1,f(2)

10、②对于任意的05西<毛52,都有/(^)/(5)>/(15.5)B./(5)>/(6.5)>/(15.5)A./(5)>/(15.5)>/(6.5)D./(15.5)>/(5)>/(6.5)9.定义在(一8,+8)上的偶函数/(兀)满足/(X+l)=-/(X),且在［-1,0］上是增函数，下面是关于/(兀)的判断：①/(兀)是周期函数；②/(X)的图彖关于直线X=1对称；③/(兀)在［0,1］上是增函数；④/(2)=/(0)・其中正确的判断是(把你认为正确的判断都填上)。1

11、0.函数y=f(x)(xeR)满足/(x)是偶函数，又/(0)=2003,g(x)=/(x-l)为奇函数，则/(2004)=.11.设/(兀)是R上的奇函数，/(x+2)=-/U),当0