不等式恒成立存在性问题的解题方法

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1、不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数/(x)=kx+b,xg［m,n］有：/(x)>0恒成立。巴：)%)<0恒成立o巴：)号1/(72)>0[/(H)<0例］:若不等式2x-l>m(x2-r)对满足-2

2、)—(2x—1)<02(x~_1)_(2兀—1)<0所恥的范围

3、是口岂"

4、+侖2、利用一元二次函数判别式对于一元二次函数f(x)=ax1+bx+c>()(aH(),xw7?)有：1./(%)>0解集为空集o°v°且°<0；2./(x)<0解集为空集og>0且Av。(1)/(x)>OfeeR上恒成立oa>0且AvO；(2)f(x)<0&eR上恒成立ogvO.FLAvO例2：若不等式(m-l)x2+(m-l)x+2>()的解集是R,求in的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m,所以要讨论ni-l是否是0。(1)当m-l=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；{,77］〉0-r,

5、所以，me［1,9)oA=(m-1)'-8(m-l)<03、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求岀参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰,操作性更强。一般地有：1)/U)/(^)max2)/(x)>g(d)(a为参数)恒成立Og(d)0在兀丘[1,+00)时恒成立，求Q的取值范围。解：兀2+2x+d>0在兀W[1,4-00)时恒成立，只要G>-X2-2x在兀W[1,4-00)时恒成立。而易求得二

6、次函数加兀)=-X2-2兀在[1,+8)上的最大值为-3,所以°〉-3。例4.已知函数/(x)=ax-^4x-xxe(0,41时/⑴<0恒成立，求实数a的取值范围。解:将问题转化为a<如三对％w(0,4]恒成立。XylAv令g(x)=，则a

7、次、简化。例5.对任意aw[-1,1],不等式兀$+(。一4)兀+4-20>0恒成立，求兀的取值范围。分析：题屮的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(X-2)a+x2-4x+4>0在ag[-1,1]上恒成立的问题。解：f(a)=(x-2)a+x2-4x+4，贝！J原问题转化为/(a)>0恒成立(aw[-l,l])。当兀=2时，可得f(a)=0,不合题意。当心2时，应有卩⑴>°解之得兀vl或兀>3。1/(-1)>0故X的取值范围为(-8,1)U(3,+8)o练习：1.已知/(尤)=兀2+处+3_°,若xg[-2,2],/(x

8、)<0恒成立，求臼的取值范围.2・对于不等式(1~m)X2+(m-l)x+3>0(1)当

9、x

10、W2,上式恒成立，求实数m的取值范围；(2)当丨m丨W2,上式恒成立，求实数x的取值范围・3o若不等式ax2-2x+2>0对xE(1,4)恒成立，求实数a的取值范围。二、存在性问题存在xED,使得函数f(x)>aof(xlQa存在xWD,使得函数f(x)Waof(xhinWa例6：:已知函数f(x)=x2-ax+a,若存在xW[T,2]使得f(x)>0,试求实数a的取值范围。解:法一：f⑴二1>0,所以对aeR,均存在xG[-l,2]使得f(x)>0.法二：原题同解于：

11、当xG[-l,2]时，f(x)_>0,即：f(-l)>0或f(2)>0代入可得:l+2a>0或4—a〉0得a>-0.5或a<4aR练习:lo已知f(x)=2x2-2ax+3,若存在xe(l,2j使得f(x)vO成立，求日的取值范围.2•存在xER,使得不等式x2-2x>«成立，则日的取值范围是.三、有解问题不等式f(x)>a,xWD有解(解集非空)of(x)max>a不等式f(x)

12、x^D}即兀时/*(兀)的值域。例7：方程x2-2x+2-a=0在区间(0,3)内有

13、解，则实数a的取值范围是