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《不等式恒成立、存在性问题的解题方法.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数f(x)kxb,x[m,n]有：f(x)0恒成立f(m)0,f(x)0恒成立f(m)0f(n)0f(n)0例1：若不等式2x1m(x21)对满足2m2的所有m都成立，求x的范围。解析：我们可以用变换主元的方法，将m看作主变元，即将原不等式化为：m(x21)(2x1)0，；令f(m)m(x21)(2x1)，则2m2时，f(m)0
2、恒成立，所以只需f(2)02(x21)(2x1)0f(2)0即1)(2x1)02(x2所以x的范围是x(17,13)。222、利用一元二次函数判别式对于一元二次函数f(x)ax2bxc0(a0,xR)有：（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0；1.f(x)0解集为空集a0且0；（2）f(x)0在xR上恒成立a0且02.f(x)0解集为空集a0且0例2：若不等式(m1)x2(m1)x20的解集是，求的范围。Rm解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0
3、。（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）m1m10，所以，m[1,9)。0时，只需1)2(m8(m1)01⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）f(x)g(a)(a为参数）恒成立g(a)f(x)max2）f(x)g(a)(a为参数）恒成立g(
4、a)f(x)max例3已知不等式x22xa0在x[1,)时恒成立，求a的取值范围。解：x22xa0在x[1,)时恒成立，只要ax22x在x[1,)时恒成立。而易求得二次函数h(x)x22x在[1,)上的最大值为3，所以a3。例4．已知函数f(x)ax4xx2,x(0,4]时f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。解：将问题转化为a4xx2(0,4]恒成立。x对x令g(x)4xx2，则ag(x)minx由g(x)4xx241可知g(x)在(0,4]上为减函数，故g(x)ming(4)0xx∴a0即a的取值范围为(,
5、0)。注：分离参数后，思路清晰，方向明确，从而能使问题得到顺利解决。4、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例5．对任意a[1,1]，不等式x2(a4)x42a0恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯为一次不等式(x2)ax24x40在a[1,1]上恒成立的问题。解：令f(a)(
6、x2)ax24x4，则原问题转化为f(a)0恒成立（a[1,1]）。当x2时，可得f(a)0，不合题意。当x2时，应有f(1)0解之得x1或x3。f(1)0故x的取值范围为(,1)(3,)。练习：．已知f(x)x2ax3a，若x[2,2],f(x)0恒成立，求a的取值范围.1２．对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0(1)当
7、x
8、≤2，上式恒成立，求实数m的取值范围；(2)当
9、m
10、≤2，上式恒成立，求实数x的取值范围.３。若不等式ax2-2x+2>0对x∈(1,4)恒成立，求实数a的取值范围。二、存在性
11、问题存在x∈D,使得函数f(x)>af(x)max>a存在x∈D,使得函数f(x)≤af(x)min≤a例6：：已知函数f(x)=x2-ax+a,若存在x∈[-1,2]使得f(x)>0,试求实数a的取值范围。3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解：法一：f(1)=1>0，所以对a∈R,均存在x∈[-1,2]使得f(x)>0.法二：原题同解于：当x∈[-1,2]时，f(x)max＞０,即：f(-1)>0或f(2)>0代入可得:1+2a>0或４－a>0得a
12、>-0.5或a<4∴a∈R练习：1。已知f(x)2x22ax3，若存在x1,2,使得fx0成立，求a的取值范围.2.存在x∈R，使得不等式x22xa成立,则a的取值范围是.三、有解问题不等式f(x)>a,x∈D有解（解集非空）f(x)max>a不等式f(x)13、x∈D}即xD时f(x)的值域。例
