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1、托勒密定理1定理内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。2证明方法 1 在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD,连接DE. 则△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
2、 又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）2已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD②。①＋②得AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．例1凸四边形AB
3、CD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝∠BCD＝90°,AB＝2,CD＝1,对角线AC、BD交于点O,如图2.则sin∠AOB＝____.分析：由∠BAD＝∠BCD＝90°可知A、B、C、D四点共圆,欲求sin∠AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD即可.解：因∠BAD＝∠BCD＝90°,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则∠ADP＝∠ABC＝60°.设AD＝x,有AP＝x,DP＝2x.由割线定理得(2＋x)x＝2x(1＋2x).解得AD＝x＝2－2,BC＝BP＝4－.由托勒密定理有BD·CA＝(
4、4－)(2－2)＋2×1＝10－12.又SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝.故sin∠AOB＝.例8如图8,△ABC与△A＇B＇C＇的三边分别为a、b、c与a＇、b＇、c＇,且∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°.试证：aa＇＝bb＇＋cc＇.分析：因∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC的外接圆,过C作CD∥AB交圆于D,连结AD和BD,如图9所示.∵∠A＋∠A＇＝180°＝∠A＋∠D,∠BCD＝∠B＝∠B＇,∴∠A＇＝∠D,∠B＇＝∠BCD.∴
5、△A＇B＇C＇∽△DCB.有＝＝,即＝＝.故DC＝,DB＝.又AB∥DC,可知BD＝AC＝b,BC＝AD＝a.从而,由托勒密定理,得AD·BC＝AB·DC＋AC·BD,即a2＝c·＋b·.故aa＇＝bb＇＋cc＇.西姆松定理西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。证明 证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC
6、于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE ②而∠ACP+∠PCE=180° ③∴∠FDP+∠PDE=180°④即F、D、E共线.反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C四点共圆。 证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有 ∠PBN=∠PLN=∠PLM=∠PCM.
7、 故A、B、P、C四点共圆。 若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN=∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有∠PBN=∠PLN=∠PCM=∠PLM.圆幂定理基本定义 圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)的统一。圆幂=PO^2-R^2。 2相关定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
8、。 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。中线定理中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。三角形一
