几何重要定理的应用及推广

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1、几何重要定理的应用及推广摘要：本文主要介绍中学数学中应用非常广泛的若干重要定理，对这些定理的证明和应用给出详细的证明。首先介绍最简单的勾股定理、余弦定理，由这两个定理证明出stewart定理与ptolemy定理，并且给出了这四个定理的等价证明。其次本文对menelaus定理和ceva定理给出详细的证明和应用，讨论在三角形的过某个顶点的直线与对边平行的，从而Mnelaus定理和ceva定理失效的条件下，将这两个定理分别推广到第一和第二角元形式。最后，采用质点几何学的方法证明了欧拉线定理,并将其推广到高维以及位似形的情况关键词：余弦定理stewar

2、t定理ptolemy定理menelaus定理ceva定理Abstract:Thepapermainlyintroducessomeimportanttheoremsthatwidelyusedinthestudyofmiddleschoolmathematicsandgivestheproofsandapplicationsofthesetheoremsindetail.Firstofall,thethesispresentsthesimplesttheorems------PythagoreanTheoremandthelawofcosine

3、s.Andbasedonthesetwotheorems,thethesisprovestheexistenceofStewarttheoremandPtolemytheorem,andgivestheequivalentproofofthefourtheorems.Secondly,thethesisintroducestheparticularproofsandapplicationsofMenelaustheoremandCevatheorem.Itdiscussesthephenomenonthatthestraightlinethat

4、crossesthevertexofatrianglealwaysparallelstothesideofthetrianglethatoppositetothevertex.(Andaccordingly,thethesisextendsMenelaustheoremandCevatheoremtothefirstandsecondAngleyuanformwhenthetwotheoremsfailinsomesituations.)Atlast,byusingtheParticlegeometry,thethesisprovestheEu

5、lerfarrowedtheoremandextendsittothehyperdimentionalcaseandbitslikeshapecase.Keywords:cosinetheorem,Stewarttheorem,Ptolemytheoem,Menelaustheorem,Cevatheorem1.勾股定理、余弦定理、Stewart定理和Ptolemy定理在中学数学中，我们最新接触的是勾股定理，在小学奥数中可能就已经出现，因而也是我们最熟悉的定理之一，余弦定理是我们高中阶段在学习几何过程中出现的，它对解决求三角形边长的问题有非常广

6、的应用。而Stewart定理和Ptolemy定理17相较前两个定理稍显难度，在几何教改前的一段时间内是属于初等几何的内容，但是随着中学几何的改革把这两个定理剔除了，但是在中学奥数中我们经常能见到它们的影子，对于解决几何图形的长度如果运用这两个定理的话会达到事半功倍的效果。1.1勾股定理、余弦定理、Stewart定理和Ptolemy定理的等价证明在中学几何学中，某些定理之间存在着一定的联系，清楚这些联系，对于更好地学习和掌握几何学知识具有非常重要的意义，在接下来的篇幅中，我们主要介绍勾股定理、余弦定理、Stewart定理和Ptolemy定理这四个

7、著名定理的等价证明。一、勾股定理→余弦定理余弦定理：三角形中锐(钝)角对边的平方，等于其他两边的平方和减去(加上)这两边中的一边与另一边在它上面的射影之积的两倍。图1.1证明：在中过点作边上的垂线，为垂足，则由勾股定理可得：消去，并用代替，经整理得到：得证二、余弦定理→Stewart定理Stewart定理：已知及其底边上、两点间一点，求证：图1.2作中边上的高线，不妨设点在、点之间，在和中，由余弦定理知：用和分别乘以两式并相加得：17既：三、Stewart定理→Ptolemy定理Ptolemy定理：圆内接四边形中，两对角线之积等于两双对边乘积之

8、和。图1.3证明：设圆内接四边形的对角线交点为，在中，由Stewart定理知：再由于～，～则有：经整理得：得证四、Ptolemy定理→勾股定理勾股定理