HPM视角下的角平分线教学

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1、HPM视角下的角平分线教学汪晓勤（华东师大数学系,上海,200241）笔者在文[1]中指出，如何将数学史融入数学教学，是HPM研究的中心课题之一。在与中学一线教师合作开发HPM案例的过程中，我们发现，教师手头缺乏有关的数学史材料；在我们提供材料之后，他们在材料的取舍上也存在一定困难。“角平分线”是初中数学中的一个知识点，在上教版、苏教版和人教版三种教材中的具体信息见表1。表1三种教材中有关角平分线的内容教材年级所在章节内容上教版六下7.5画角的和、差、倍用折纸方法引出角平分线概念；用量角器画角平分线；角平分线的尺规作图法苏教版七上6.2角用折纸方法

2、引出角平分线概念七下11.3探索全等三角形的条件用角尺的方法引出角平分线的作图人教版七上4.3角先给出角平分线的定义；再介绍折纸作角平分线的方法八上11.3角的平分线的性质通过角平分线仪器引出角平分线的作图法，通过折纸方法引出角平分线的性质定理，通过集贸市场选址问题引出上述性质定理的逆定理。三种教材都没有涉及角平分线的具体历史，内容呈现也未采用历史的视角。61历史、文化素材1.1角平分线的起源角平分线问题或许源于生活实际，但古希腊数学家并不重视数学的实际应用，因而我们很难在古希腊数学文献中找到有关证据。而从数学内部看，角平分线问题的起源应该是很清楚

3、的，那就是三大几何难题之一的化圆为方问题的求解。公元前5世纪，著名辩士、诗人安提丰（Antiphon）首次采用圆内接正多边形试图解决该问题：从圆内接正方形出发，不断倍增边数，当边数无限多时，圆就被化成了方，即圆面积得以求出。而倍增边数，需要通过作角平分线来完成。古希腊人的作图工具是没有刻度的直尺和易散的圆规（双脚离开纸面后自动合拢），今称欧几里得工具。1.2角平分线的作图欧几里得《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角。”[2]此即：作一个已知角的平分线。图1《几何原本》卷1命题9图2欧几里得的角平分线作图法欧几里得在《几何原本》中给出如下的作图

4、法：在OA和OB上分别取点D和E，连接DE，在DE上作等边三角形DEF，则OF就是角AOB的平分线。欧几里得的作图法是书本6上作图法的特殊情形。其中，在一条已知线段上做一个正三角形，是《几何原本》第一卷的第一个命题。1.3角平分线的推广知道角平分线的作图之后，我们很容易得到四等分角、八等分角、十六等分角、…的作图。问题是：我们能用尺规将一个角三等分吗？这也是古希腊三大几何难题之一——三等分角问题。古希腊数学家一次又一次的尝试均以失败而告终。直到19世纪，数学家彻底证明：三等分角的尺规作图是不可能的。一些古希腊数学家找到了解决这个问题的其他办法，有些

5、人借助尺规以外的机械工具（如尼科梅德的蚌线），有些人构造两种不同运动（如希皮亚斯割圆曲线、阿基米德螺线），都涉及超越曲线。在欧几里得看来，这些办法都是不作数的，因为，它们不能通过尺规作图来实现。1.4角平分线的应用美国数学史家和数学教育家史密斯（D.E.Smith,1860-1944）在教师培训教材《几何教学法》中，提供了角平分线的两种实际应用[3]。如图3，要在两条街道所形成的岔路之间、距路口若干远处安装一盏路灯，问灯柱该立在何处？显然，要使路灯照在两条街上“一样亮”，就必须将灯柱立于两街所成角的平分线处。图3岔路口的路灯图4日影实验第二个例子是

6、，选择一个晴天，让学生在上午9点左右，在操场上一点N处立一根高约5英尺的直竿，测量直竿影子的长度，并在影子的末端W处作一个记号；到下午36点左右，再测量直竿的影长，等到影长与上午测得的影长NW完全相等时，在影子的末端E处做一个标记。于是，角WNE的平分线位于正南北方向，如图4所示。当太阳的影子位于NS上时，时间到了真太阳时的正午时分（与钟表上的12点有出入）。2教学设计将数学史、数学文化知识融入数学教学，必须遵循以下原则。●趣味性。教学内容应让学生觉得有趣才行。应该讲述数学背后的故事（当然，不能占太多时间）。●科学性。数学史材料应符合史实，而不是胡

7、乱编造；数学上不能有错误。●有效性。不是为数学史而数学史，而是为有效地完成三维目标而应用数学史。●可学性。教学设计一定要符合学生的认知基础，易于为学生接受。●新颖性。HPM视角下的教学设计必须有新意、有特色，对教师专业发展起引领作用；而不是完全照本宣科，或网上下载，或人云亦云。在上述原则，特别是有效性原则的指导下，我们来设计角平分线的教学。2.1引入我们不可能按照历史上数学内部的需要来设计引入部分，而需要重构角平分线知识的发生过程。利用岔路口的路灯安装问题来引入，一方面，将教学建立在一个学生易于理解的生活情境的基础之上；另一方面，可以有效地激发学生

8、的学习动机。这是发生教学法的基本思想。2.2.作图在介绍书本上的作图法之后，问学生：古代数学家又是如何作图的呢？为了体现趣