分段函数的性质和应用

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1、高中数学微专题之分段函数【考纲要求】内容要求ABC函数概念与基本初等函数I函数的概念V函数的基本性质V【考题分析】内容年份考题•i/・七两数概念与基本初等函数I201513•已知函数/(x)=

2、lnx

3、,g(x)=(「则方[Jx-4

4、-2,x>l程1+

5、=1实根的个数为分段函数、函数与方程201611.设y*C■上■/(5a)的值i)是定义在R上且周期为2的函数，在区间卜1,1)x+a,-l

6、=/Kb则—xOSxvl,(2丿(2丿是・分段函数、函数周期性201714.设于⑴是定义在/?且周期为1的函数，在区间[0,1)上，/(x)=[X其中集合D={x

7、

8、x=^,hg/V*},则方程x.x^Dnf(x)-lgx=0的解的个数是函数的周期性、分段函数、函数与方程20189.函数j/W=U)满足/(X+4)=/(x)(xgR),且在区间(-2,2]上，*nx.八cos—,0

9、x+—1,-2

10、对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数虽由儿个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着H变量的范围是否在发生变化.即“分段函数一一分段看”.【题型分析】[(瓠5则“U0g3X(X>0),【题型一】求函数值【例1](2017•盐城中学一模爪刘=【解析】°••彳§)=log3§=—2,=f(—2)=(g2=9.【方法技巧归纳】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自

11、变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.z、fcos^x,x>0(io、【例2】设函数心专则右罟)的值为——【解析】由/(兀)解析式可知，只有x>0,才能得到具体的数值，兀<0时只能依靠/(x)=/(X4-1)-1向X>0正数进行靠拢。由此可得：(10、(7、((1A(2、/=f-2=/---3=/--4,而/JJJJJJ2”=cos——3]_2【方法技巧归纳】含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用(或者对函数图象的影响)比如

12、在本题中：x<0,/(x)=+1)—1可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1,其作用在于自变量取负数时，可以不断+1直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。【练习】[x2+2x+2,兀WO,1.设函数./U)=

13、2若朋>))=2,则实数0=・—兀,x>0.【解析】当a>0时,加)=_/<0,恥))=/一2/+2=2,解得a=y[2(a=0与a=-^2舍去).当aWO时，J(a)=c^+2a+2=(a+1)2+1>0,恥))=一(/+2q+2)2=2,此方程无解.所以a=y[2.{3丫—my°：7：若y(2x2m，兀>2.—加)=/(2+加)，贝ljm的值为・【解析】当m>0时，2

14、—m<2,2+m>2,所以3(2—加)一加=—(2+加)一2加，所以加=8；当加<0时，2—m>2,2+m<2,所以3(2+zn)—m=—(2—m)—2m,所以加=一§故m的值为8或一£•【题型二】解不等式X【例3](2017•南京、盐城模拟)已知函数f(x)=则不等式2+1，xWO,、一(X-1)2,X>0,的解集是【解析】当xWO时，由题意得-+1^-1,解之得一4WxW0,当x>0时，由题意2得-(x-l)2>-l,解之得0vxW2.综上—1的解集为{x

15、—4Wx}・【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是

16、所求不等式的解集.【例4]已知函数/(%)=—X"+2,x+3,x502曲+1,兀>0则不等式/(x+8)