分段函数和函数的性质知识梳理

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1、分段函数及函数的性质分段函数概念在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数.定义域分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集函数值求分段函数的函数值/（勺）时，应该首先判断X。所屈的取值范围，然后再把必代入到相应的解析式屮进行计算.注意分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示.分段函数的作图因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中

2、，要依次作出自变量的各个不同的取值范圉内相应的图像，从而得到函数的图像.例1设函数y=/(%)=<2无—1,X2,x,,0,兀>0.（1）求函数的定义域;)求/(2),/(O),/(-1)的值.(3)作出函数图像.2无+1,1-?,—2vx”0,00,4.已知/(%)=总）爲则f⑶为”）函数的性质1单调性概念函数值随着自变量的增

3、大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.Zi/■1<1a-^1x2b:1即对于任意的Xje（a,b）9当A*!/（兀2）成立.这时函数/（x）叫做区间仏Z?）内的减函数，区间仏Z?）叫做函数/（%）的减区间.3如果函数/（尢）在区间仏®内是增函数（或减函数），那么，就称函数/（兀）在区间（o,b）内具有单调性,区间（a,b）叫做函数于（兀）的单调区间.例判断函数j=4x-2

4、的单调性1.已知函数f（x）=x2+cvc+b,且对任意的实数兀都有/（1+兀）寸（1一兀）成立。（I）求实数a的值；（II）利用单调性的定义证明函数yu）在区间［1,+-）上是增函数。2.如果函数/（x）=x2+2（g・1）x+2在区间4）上是减函数，则实数。值范围是（）。A.—3B.qW—3C.aW5D.g233•如果函数/（x）=F+2幺_1）兀+2在区间（y>,4］上是减少的，那么实数a的取值范围是（）Aa<-3Ba>-3Ca<5Da>54.若/（x）=-x2+2tzx与g（x）二丄在区间［1,2］上是减函数，则Q的取值范围X+1是5.函数人兀

5、）=VP—2X—3的单调增区间为]x(6+x-2x~)的单调增区间是2奇偶性设函数y=/(x)的定义域为数集D,对任意的xeD,都有-(即定义域关于坐标原点对称)，且(1)/(-兀)=/(兀)0函数y=/(x)的图像关于y轴对称，此时称函数y=f(x)为偶函数；(2)/(-x)=-/(x)O函数y=f(x)的图像关于坐标原点对称，此时称函数称函数=/U)为奇函数.如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性.不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数.判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是：(1)求出函数的定义域；(2)判断对任意的"Q是否都有-

6、xeD・若存在某个x0gD但-心D,贝lj函数肯定是菲奇菲偶函数；(3)分别计算出/co与/(-兀).若.心)=.*工，则函数为偶函数；若/W=-/(-X),则函数为奇函数；若/(兀)H/(-兀)且f(X),则函数为非奇非偶函数.例判断下列函数的奇偶性：(1)/(x)=j?；(2)/(x)=2x2+1；(1)/(x)=/x；(4)/(x)=x-l.1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x；(2)/(*)=丄；(3)/(x)=-3x+l；(4)/(x)=-3x2+21、f(x)=(m-1)X2+(/n-2)x+(m2-7m+l2)为偶函数,则加的值

7、是()A、1B、2C、3D、41.已知f{x)=ax+bx是定义在［a—1,2a］上的偶函数，那么a+b的值是2.已知/⑴是偶函数，且/⑷=5,那么/⑷+/(-4)的值为()。(A)5(B)10(C)8(D)不确定3设/W是定义在R上的奇函数，当兀W0时，心)=2?—兀，则用)等于()A.-3B.-1C.1D.34已知函数于(兀)是定义在(-00,+8)上的偶函数当xe(-o),0)吋,/(x)=x-x4,贝IJ当兀w(0,+8)时，f(x)=.5.已知函数y=f(x)为奇函数,且当兀＞0时/(X)=x2-2x4-3,则当兀＜0时,/(兀)的解析式为…

8、()A.f(x)=-x2+2x-3B.fx)=-x2_2兀_3C./(x)=x2-2x+3D