专题--抽象函数的导数问题(齐建民)

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1、专题抽象函数的导数问题基础知识2【类型一根据条件确定函数的单调性】3练习13【类型二构造积函数】3【类型三构造商函数】4【类型四构造和差函数】5【类型五与奇偶性结合构造函数】5命题方式与解题规律总结5构造型的抽象函数导数问题解题要领6练习26练习题解答9基础知识1、求导的四则运算法则1[/(兀)土g(x)]'=/G)土gG)・(可推广到多个函数)法则2[/(x)gg(x)]'=f'(x)g(x)+gx)f(x).法则3[/&)r=/xg)x(-yx$才''g(x)")2、比较重要的导数：(In兀)7丄，(/)'=?'{xnY=nxn~}X，3、单调性的逆

2、用：/*(兀)单调递增,则/(兀])>/(兀2)U>旺>兀2；.f(x)单调递减，则f(xi)>/(%2)<=>%(0,则必有()A./(0)+/(2)<2/(1)B./(0)+/(2)<2/(1)C./(0)+/(2)>2/(1)D•/(0)+/(2)>2/(1)总结：根据导数确定原函数的单调性，关键是确定导数的符号变化规律，要注意题目条件

3、是否提供了与此有关的信息。练习11、定义在R上的函数于(兀)，满足/(4-x)=/(%),且(兀一2)广(兀)<0,若x,4,则有()A./Uj)/(x2)C./(Xj)=/(x2)D.以上都不对2、设定义在尺上的函数/(%),函数y=(l-x)/*(x)的图像如图所示，则下列结论成立的是()A、函数/(兀)有极大值/(2)和极小值/(I)B、函数/(兀)有极大值/(-2)和极小值/⑴C、函数/(兀)有极大值/⑵和极小值/(-2)D、函数/(劝有极大值/(-2)和极小值/⑵2类型二构造积函数【典型构造】若条件

4、是fx)g(x)+gx)f(x)>0形式的,可构造F(x)=f(x)g(x),则F(x)单调递增;在实际问题中，出题人往往会隐藏部分结构，如：因为[f(x)^=exf(x)-^fx)ex=ex[f(x)-^fx)]所以,题目可能会只出现/'U)+/(x)>0，可构造F(x)=exf(x),则F(x)单调递增；类似的还有：(1)若条件是"*&)+/(兀)》0,可构造F(x)=xf(x)f则Fd)单调递增；原型：F(xy=[xfMY=xfx)+f(x)(2)若条件是h'(x)+^(x)nO,可构造F(x)=Z/(x),则F(Q单调递增；原型：FG)"

5、」时3+叭兀)]»0,(此类型要注意严的符号)例设/(x),g(.分别是定义在R上的可导函数，广(兀*(兀)+0(兀)/(兀)>0,且g(-3)=0,求不等式/(x)g(x)<0的解集解:构造函数F(x)=f(x)g(x)+g(x)f(x),易知F(x)单调递增,而F(-3)=0,则/(x)g(x)<0的解集为x<-3例设肚0是R上的可导函数，且/*(%)>/(X),/(0)=1,/(2)=4,求/'⑴的值分析：构造F(x)=exf(x)，则Fx)甘(功念，所以F(x)单调递增或为常函数,而F(0)=eQf(O)=1,F(2)=e2f(2)=1,所以F(

6、x)=1,故F(l)=d/⑴=1,得/(D=-e【类型三构造商函数】【典型构造】若条件是fx)g(x)-f(x)gx)>0,贝9构造F(x)=[^],则gMF'驸Hg"左兀』,说明F(x)单调递增若条件是/*(x)-/(x)>0,可构造F(x)二上孚，则F(x)单调递增；例1(07陕西理)/(%)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足h'(x)—/(x)W0.对任意正数a,b,若a

7、G),x，则下式恒成立的是()A.馆/(手)>V2/(^)B./(I)<2/(^)sin143oc.冋耳>/(手)D.迟吟/(-X)恒成立，则满足3/(3)>(2x-l)/(2x-l)的实数x的取值范围是()A.(-1,—)B.(—1,2)C.(二,2)D.(-2,1)22命题方法总结此类题型一般命题方式是，给出一个函数的导数或者导数的一部分(例如，在/

8、?上导数小于0),然后考察：(1)解一个不等式，需要我们构造出左右