专题---抽象函数的导数问题(教师)

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1、专题抽象函数的导数问题所谓抽象函数，即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法：(1)根据条件设法确定函数的单调性；(2)要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造什么样的函数，一方面耍和己知条件含有/'(兀)的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数【求导的四则运算】法则1[/(兀)土g(x)]*=f

2、x)±g'(x).法则2[f(x)gg(x)]1=/G)g(兀)+gf(x)/(x).法则3[1马=/心巴-小/g⑴g2(x)例1、(2006江西卷)对于R上可导的任意函数/(兀)，若满足(X—>0,则必有()A./(0)4-/(2)<2/(1)B./(0)4-/(2)<2/(1)C./(0)+/(2)>2/(1)D./(0)+/(2)>2/(1)分析：这个题目的条件(x-l)/'(x)>0(实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个函数的单调性，具体来说：由(x-l)/V)>0得：(1)XT20且广(

3、x)>0,于是在(1，+°°)上『⑴单调递增；⑵X-150I1广(x)S0,于是(Y,l)上于(兀)单调递减；综上可知的最小值为/⑴,/(0)」1)，/⑵>/(I),得/(0)+/(2)>2/(1),选C【典型构造】若条件是广(x)g(Q+gGV(兀)no,可构造F(x)=f(x)g(x),则F(兀)单调递增;若条件是fx)+f(x)>0,可构造F(x)=exf(x),则F(x)单调递增；若条件是#V)+/(x)>0,可构造F(x)=xf(x),则F(x)单调递增;若条件是兀丁(+兀)》(，可构造F

4、(羽"兀例2、/(兀)是R上的可导函数，且fx)+f(x)>0,/(0)=1,/(2)=4,求f⑴的值e分析：构造F(x)=exf(x)，则F,(x)=^(/,(x)+/(x))>0,所以F(兀)单调递增或为常函数，而F(0)=卩/(0)=1,F(2)=/y(2)=1,所以F(x)=1,故FQ]=,W/(D=-e例3、(07陕西理)/(兀)是定义在(0,+s)上的非负可导函数,且满足护⑴一/(x)WO.对任意正数a,b,若avb,则必有()A.妙(b)W妙⑷B.hf(a)af(h)C.af(a)

5、f(h).bf(h)af(a)分析：选项暗示我们，可能用得到的函数有两种可能，或二#(x)下面对他们分别求导，看看哪个能利用上已知条件：=因为/(心，#'(x)+/(x)W0o#G)5—/G)W0,得xf(C,贝T(力-/(京，故gjaE(,于是由a72/(^)B./(I)<2/(^)sin1436C.局(?)>朋)D.屁$)

6、<朋)6463sinx解：因为,COSX构造F(x)=,则F(x)二厂(兀川武：/9)c°so,所以F(兀)单调递增，因sinxsiirQJT冗7TTT-<-，所以F(-)

7、J6363•71sin—6•71sm—3，即V3/(J)<用),选Do3练习1、已知函数/(兀)满足/(―兀)+/(兀)二左，且在(0,+8)上，广(兀)>兀，则不等式f(2-a)-f(a)>2-2的解集为()A.[1,4-20)B.(—8,1]

8、C.(—8,2]D.[2,4-00)解析：构造g(兀)=f(x)-—x2，则g(-x)+g(兀)=+f(x)-—x2=0,故g(x)为奇函数，且在(0,+co)上，gx)=/*(x)-x>0,故g(x)是增函数，1.19而/(2-a)-f(a)-2+2tz=/(2-(2)--(2-tz)~-[f(a)--a]=g(2-a)-g(a),故只需2-a>at得dWl,选B2、设f(x)9g(x)在[d,/?]上可导，且广(x)>gx),则当dVXV/?0寸，有()A/(x)>g(x)B.f(x)

9、)C./(x)+g⑷〉gCr)+/(a)D./(g(b》g(对J解析：构造函数W=/W-^),则易知尸⑴单调递增，于是F⑷f(a)-g(a)f选c3、(2011高考辽宁)函数的定义域为/?,/(—1)=2,对任意xwR,广(兀)>2,则y(x)>2x4-4的解集为()D.(-oo,+oo)A.(—1,1)B.(—l,+oo)C・(一也一1)解析：构造函数F(x)=/U)-2x-4,则F(x)=/U2勺3£，所以F(x)在R