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《圆外切四边形的性质及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、.圆外切四边形的性质及应用01双心四边形，外心为O，外接圆半径为R，内心为P，内切圆半径为r，OI=h．证明+=．证：如图，分别过K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂线交于A、B、C、D．∵∠LCM=180°－∠LPM=∠PLM+∠PML=(∠MLK+∠LMN),∠KAN=(∠LKN+∠KNM)．∴A、B、C、D四点共圆．我们设其半径为r，易证B、P、D；A、P、C分别三点共线．∴r=PLsinb=PBsinasinb=PB·,PC·AP=r2－d2(d为ABCD的外心记为W与P的距离)．又易证AC⊥BD，∴=Þr=…
2、①延长NP交BC于T，易证T为BC中点(卜拉美古塔定理)．∴WT∥PS,WS∥PT．□WTPS中，4O¢T2=PS2+OS2－d2=2r2－d2．又O¢N=ÞO¢为KLMN的外心(即为O)且R=…②，h=d…③..由①②③得===+．01证明圆外切四边形ABCD的对角线AC、BD的中点E、F与圆心O共线．证：沿用上题的记号，对点X、Y、Z，用d(X,YZ)表示X到YZ的距离．设⊙O半径为r，∠BAD=2a,∠ABC=2b,∠BCD=2g,∠CDA=2d，则a,b,g,d均为锐角且a+b+g+d=p．∴sina,sinb,s
3、ing,sind>0．连结EF(若E与F重合，则结论显然成立，以下设E与F不重合)．在线段EF上取点O¢使=．连OA、OD、OG(F为⊙O与AD相切处)，则OG⊥AD,AG=OGcota=rcota,GD=OGcotd=rcotd．故AD=r(cota+cotd)．∴d(A,CD)=r(cota+cotd)sin2d．∴d(E,CD)=sin2d(cota+cotd)r=sindcosd(cota+cotd)r=(sindcosdcota+cos2d)r=(sindcosdcota－sin2d)r+r=sind·r+r=(
4、+1)r．同理d(F,CD)=(+1)r．..由=知d(O¢,CD)==r+r=r(因为a+b+g+d=p，所以cos(a+d)+cos(b+g)=0)．同理d(O¢,AB)=d(O¢,BC)=d(O¢,DA)=r．∴O¢与O重合，故知结论成立，证毕．01已知△ABC，在BC、CA、AB上分别取点D、E、F使四边形AEDF、BDEF、CDEF均为圆外切四边形．求证AD、BE、CF三线共点．证：作△DEF内切圆⊙w，切EF、FD、DE于P、Q、R．又设△ABC内切圆为⊙I，△AEF内切圆为⊙w1．记⊙w1、⊙w、⊙I半径分别
5、为R1,R,r．由AEDF为圆外切四边形知AF+DE=AE+DF．∴FP－PE=FD－DE=FA－AE．∴⊙w1切EF于P，∴⊙w1与⊙w外切，∴w1、P、w三点共线．另一方面，易知A、w1、I三点共线．延长AP交Iw于T，则对△Iww1与截线AP用梅氏定理知=1．注意到=，上式Û=1，即=．..∴T为线段wI上一个定点，∴AP、BQ、CR三线共点于T．由塞瓦定理知=1．再用角平分线定理知上式Û=1．将FP=FQ,EP=ER,DQ=DR代入得=1．由塞瓦定理即知AD、BE、CF三线共点，得证．01四边形ABCD既可外切于圆
6、，又可内接于圆，并且ABCD的内切圆分别与它的边AB、BC、CD、AD相切于点K、L、M、N，四边形的∠A和∠B的外角平分线相交于点K¢，∠B和∠C的外角平分线相交于点L¢，∠C和∠D的外角平分线相交于点M¢，∠D和∠A的外角平分线相交于点N¢．证明，直线KK¢、LL¢、MM¢、NN¢经过同一个点．证：如图，设∠BCD的内切圆圆心为I，∠BAI=∠IAD=a,∠ABI=∠CBI=b,∠BCI=∠DCI=g,∠CDI=∠ADI=θ．⊙I半径为r．由ABCD还有外接圆可得a+g=b+θ=．∴∠K¢AB=g=∠N¢AI(由于K¢
7、N¢为A外角平分线)，且A、K¢、B、I四点共圆，AB=r(cota+cotB)．∴=即=．∴AK¢=．同理AN¢=．∴K¢N¢==，K¢N¢⊥AI．..而KN∥K¢N¢且=2rsing且KN⊥AI．∴KN∥K¢N¢且=2sinasinbsinθsing．同理可得MN∥M¢N¢,=2sinasinbsinθsing,ML∥M¢L¢,=2sinasinbsinθsing,LK∥L¢K¢,=2sinasinbsinθsing．于是四边形KLMN与四边形K¢L¢M¢N¢位似，对应顶点连线K¢K、L¢L、M¢M、N¢N共点于位似中
8、心，得证．..设凸四边形ABCD外切于⊙O，圆心O在对角线BD上的射影为M．求证BD平分∠AMC．证：设⊙O在ABCD四边切点为A1、B1、C1、D1．不妨设⊙O半径为1，以O为原点建立复平面，则⊙O为单位圆．令A1、B1、C1、D1所代表的复数为a,b,c,d，则由熟知结论可知D=,A=,B=,C=．
