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1、参数估计练习题1.指出下列分布中的参数,并写出它的参数空间:(i)二点分布;(ii)普哇松分布;(iii)在上的均匀分布;(iv)正态分布.解:P；；；（iv）2.设是来自二点分布的一个子样,试求成功概率的矩法估计量.解:3.已知母体均匀分布于之间,试求的矩法估计量.解:，。令得，4.对容量为的子样,求密度函数中参数的矩法估计量.解:令得.5.在密度函数中参数的极大似然估计量是什么?矩法估计量是什么?解:(1)令，得。由于故是极大似然估计.(2)由令得6.用极大似然法估计几何分布中的未知参数.解:，令得而是P的极大似然估计.207.设随机变量的密度函数为
2、，是的容量为的子样,试求的极大似然值.解:，。得，又故8.设是取自均匀分布的母体的一个子样,其中试证:的极大似然估计量不止一个,例如都是的极大似然估计量.解:证:的密度函数为，故即凡满足的均为的极大似然估计.从而(1)满足此条件，故是的极大似然估计.(2)由于故，所以也是的极大似然估计.(3)由于，故，，从而，故也是的LM.9.设是取自对数正态分布母体的一个子样,即，试求:的期望值和方差D的极大似然估计.解:的密度函数为，所以，两边对数并分别对和求寻,并令其为0,得似然方程组，解得经验知和的LM为:，又，20从而10.一个罐子里装有黑球和白球,有放回地抽
3、取一个容量为的子样;其中有个白球,求罐子里黑球数和白球数之比的极大似然估计量.解:设罐子里有白球个,则有黑球个,从而共有个球,从罐中有放回地抽一个球为白球的概率为:，黑球的概率为从而抽球为二点分布似然方程为。从而解得.可验证这是R的极大似然估计.11.为检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数(一升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布),化验结果如下:大肠杆菌个数/升0123456升数1720102100试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使出现上述情况时的概率为最大.解:由，设一升水中大肠杆菌个数=，又
4、.故问题为求的极大似然估计.由，可得.由观测值代入求设.故每升水中大肠杆菌的个数平均为1时,出现上述情况的概率最大.12．设,是取自二维正态母体的一个子样,求和的极大似然估计.解:由L可得似然方程为将(1),(2)代入(3)得:(4)由(4)代入(1),(2)得似然估计:.2013．从四个正态母体(它们都有同样的方差)中,各抽一个容量为的子样,第个子样的观测值为若四个母体的平均数分别为试求和的极大似然估计.解:两边取对数后对分别求导,令其均为0，即得，，。对求导代入得.14.考虑某种离散分布，其中对某些可能有有连续导数,设是取自具有这种分布的母体的一个子
5、样.证明的极大似然估计是方程的一个根,这里的极大似然方程与矩法方程相同.试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式,这些分布是普哇松分布、二项分布.解:(1)证对求导得又由知从而所以似然方程可写为这与矩法方程一致.(2)对其中从而，故似然方程的显式为.20对二项分布:又故似然方程的显式为15.设1是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数，其中试求参数和的极大似然估计和矩法估计.解:(1)LM估计，故是的递增函数,取到最大可能值时可使lnL达到最大,故的极大似然估计为由可解得的LM这.(2)矩法估计由于，故由解得16.设为取自参数为的普哇松分布的一个子
6、样.试证子样平均和都是的无偏估计.并且对任一值也是的无偏估计.证:对普哇松分布有,从而故与都是的无偏估计.又故也是的无偏估计.2017.设为取自正态母体的一个子样,试适当选择,使为的无偏估计.解:由，且相互独立可知,从而.取时,为的无偏估计.18设母体的数学期望为方差又设和为取自此母体的两个子样.试证:是的无偏估计量.其中证:,故是的无偏估计.19.设随机变量服从二项分布,n试求无偏估计量.解:由于故从而当抽得容量为N的一个子样后,的无偏估计为:20.设是取自参数为的普哇松分布的一个子样,试求的无偏估计.解:由故从而,所以的无偏估计为2021.设是取自正
7、态母体的一个子样,试证对任一固定的,是的无偏估计,其中是的分布函数.证:记的密度函数为，则的联合密度函数为从而故（）是的无偏估计.22.设是取自母体的子样,的分布函数为未知参数,是的一个有偏估计,且,其中是仅与有关的一个函数,为了减少偏性,常要用如下的“刀切法”。设是把原来子样中第个分量剔除,再以留下的容量为的子样所得的估计量,并且与的估计公式是有同样的形式,则可证明是的无偏估计,称为的一阶刀切估计.证:23.设为取自正态母体的一个子样,证明S0和都是的无偏估计,其中.证:(1)由于令,则的的密度为20而此时.(2)由于令则.利用(1)类似的方法可证也是
8、的无偏估计.24.设是取自均匀分布母体的一个子样,分别取做的估计量,问是否分别为
