湘教版高中数学必修四知识点总结

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1、解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c;a-b

2、形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设、、是的角、、的对边，则：①若，则；②若，则；③若，则．题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．1.在中，AB=3，AC=2，BC=，则()A．B．C．D．【答案】D4(2005年全国高考江苏卷)中，，BC＝3，则的周长为（）A．B．C．D．分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．选(D)．5（2005年全国高考湖北卷)在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sin

3、A的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x在ΔBDE中利用余弦定理可得：，，解得，（舍去）故BC=2，从而，即又，故，在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求A。答案：题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．1.(2005年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－

4、B)＝0，得A＝B．故选(B)．解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．∴＝，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B3.在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。答案：故△ABC为等腰三角形或直

5、角三角形。4.在△ABC中，，判断△ABC的形状。答案：△ABC为等腰三角形或直角三角形。题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．1.(2005年全国高考上海卷)在中，若，，，则的面积S＝_________2．在中，，，，求的值和的面积。答案：3.（07浙江理18）已知的周长为，且．（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数．解：（I）由题意及正弦定理，得，，两式相减，得．（II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以．题型之四：三角形中求值问题1.(2005年全国高考天津卷)在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值．分析：本题给出一

6、些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理，因此，在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理解得从而2．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos=sin。cosA+2cos=cosA+2sin=1－2sin2+2sin=－2(sin－)2+；当sin=，即A=时,cosA+2cos取得最大值为。3．在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，，求的值。解析：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以cosA＝，则（2），则bc＝3。将a＝2，

7、cosA＝，c＝代入余弦定理：中，得解得b＝。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。4．在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．4分联立方程组解得，．6分（Ⅱ）由题意得，即，8分当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程