2007年考研数学三真题与解析

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1、2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当时，与等价的无穷小量是（）.（2）设函数在处连续，下列命题错误的是：().若存在，则若存在，则.若存在，则存在若存在，则存在（3）如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（）.（4）设函数连续，则二次积分等于（）（5）设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品

2、需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）10203040（6）曲线渐近线的条数为（）0123（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是()（A）(B)（C）(D)（8）设矩阵，则A与B（）（A）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()(10)设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X,Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为()（A）(B)(C)(D)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24

3、分，请将答案写在答题纸指定位置上.（11）.（12）设函数，则.（13）设是二元可微函数，则________.（14）微分方程满足的特解为__________.（15）设距阵则的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其中（19）（本题满分11分

4、）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得（20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量.记，其中E为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度.（24）（本题满分11分）设总体的概率密度为.其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.（Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为

5、的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学（三）真题答案一、选择题BDCBDDABCA二、填空题（11）.（12）设函数，则.（13）设是二元可微函数，则.（14）微分方程满足的特解为.（15）设距阵则的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为＿＿.三、解答题：（17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性.【详解】：（18）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其中【详解】：积分区域D如图，不难发现D分别关于x轴和y轴对称，设是D在第一象限中的部分，即利用被积函

6、数无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得设，其中于是由于，故为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是，，因而，故令作换元，则，于是且，代入即得综合以上计算结果可知（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得【详解】：证明：(1)设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在(2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即.（20）（本题满分1

7、0分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组的解.即距阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为：（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量.记，其中E为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.【详解】：（Ⅰ）可以

8、很容易验证，于是于是是矩阵B的特征向量.B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即，所以B的全部特征