2014年高考数学试题分类汇编-N选修4系列

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1、数学N单元选修4系列15．[2014·广东卷](几何证明选讲选做题)如图13所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．图1315．9　15．[2014·湖北卷](选修41：几何证明选讲)如图13，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．图1315．4　12．[2014·湖南卷]如图13所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．图1312.　22．[2014·辽宁卷]选修

2、41：几何证明选讲如图17所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上—点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.图1722．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又因为∠PGD＝∠EGA，所以∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA

3、与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.22．[2014·新课标全国卷Ⅰ]选修41：几何证明选讲如图16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.图16(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠

4、D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．22．[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修41：几何证明选讲如图14，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.图1422．证明：(1)连接AB，A

5、C.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.15．[2014·陕西卷]图13B．(几何证明选做题)如图13，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________．15．B．3　6．[2014·天津卷]图12如图12所示，△ABC是圆的内接三

6、角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是(　　)A．①②B．③④C．①②③D．①②④6．D　14．[2014·重庆卷]过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．14．4　21．[2014·福建卷](Ⅰ)选修42：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵．(1)求矩阵A；(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特

7、征向量．21.(Ⅰ)解：(1)因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝＝.(2)矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝)是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝)是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．13．[2014·天津卷]在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsi