2015年高考数学（文科）真题分类汇编N单元 选修4系列.doc

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1、数学N单元选修4系列N1选修4-1几何证明选讲15．N1[2015·广东卷](几何证明选讲选做题)如图11，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝2，则AD＝________.图1115．3　[解析]连接OC，则OC⊥DE，∴OC∥AD，∴＝.由切割线定理得CE2＝BE·AE，∴BE(BE＋4)＝12，解得BE＝2，∴AD＝＝＝3.22．N1[2015·全国卷Ⅰ]选修41：几何证明选讲如图17，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)

2、若OA＝CE，求∠ACB的大小．图1722．解：(1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2，BE＝.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝，即x4＋x2－12＝0，可得x＝，所以∠ACB＝60°.22．N1[2015·全国卷Ⅱ]选修41：几何证明选讲如图19，O是等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两

3、点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．图1922．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°，因此△ABC和△AEF都是等边三角形．因为AE＝2，所

4、以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.所以四边形EBCF的面积为×2×－×(2)2×＝.22．N1[2015·陕西卷]选修41：几何证明选讲如图17，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径．图1722．解：(1)证明：因为DE为⊙O的直径，所以∠BED＋∠EDB＝90°.又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)由(1)知BD

5、平分∠CBA，则＝＝3.又BC＝，从而AB＝3，所以AC＝＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.6．N1[2015·天津卷]如图12，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为(　　)图12A.B．3C.D.6．A　[解析]根据相交弦定理知，CM·MD＝AM·MB，CN·NE＝AN·NB.又因为M，N是弦AB的三等分点，所以CM·MD＝CN·NE，即2×4＝3×NE，所以NE＝.N2选修4-2矩阵N3选修4-4参数与参数方程23．N3[2

6、015·全国卷Ⅰ]选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．23．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝，故ρ1－ρ2＝，即

7、MN

8、＝.

9、由于圆C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.23．N3[2015·全国卷Ⅱ]选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求

10、AB

11、最大值．23．解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.联立解