极值点偏移第五招---函数地选取-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(解析汇报版)

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1、实用文案于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数.那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.★已知函数有两个不同的零点，，其极值点为．（1）求的取值范围；（2）求证：；（3）求证：；（4）求证：．解：（1），若，则，在上单调递增，至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，在上递增，要使有两个不同的零点，则须有．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）．标准文档实用文案（3）由所证结论可以看出，这已不再是极值的点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：（ii）构造函数，则[来源:学。

2、科。网]标准文档实用文案（4）（i）同上；（ii）构造函数，则当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即；（iii）将代入（ii）中不等式得，又，，在上递增，故，．点评：虽然做出来了，但判定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：，记函数，则有．接下来我们选取函数再解（3）、（4）两问．（3）（i），得在上递减，在上递增，有极小值，又当时，；当时，，由不妨设．标准文档实用文案【点评】用函数来做（3）、（4）两问，

3、过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将，相加得标准文档实用文案．注2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定的范围？这是因为的范围较的范围小，以第（3）问为例，若给定，因为所构造的函数为，这里，且，得，则当时，无意义，被迫分为两类：①若，则，结论成立；②当时，类似于原解答．而给字，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定或的范围均可，请读者自己体会其中差别．【思考】练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？提示：用函数来做，用函数来做．练习2：（安徽合肥2017高三第二次质量检测

4、）已知（1）求的单调区间；（2）设,，为函数的两个零点，求证.提示：将，两边取对数转化为指数方程处理.【招式演练】★已知函数有两个零点，求证：.标准文档实用文案只要证：即证：，即证：，由的单调性知，只需证：，学*科网同理构造函数，利用单调性证明，下略.★已知的图像上有两点，其横坐标为，且.（1）证明：；（2）证明：.标准文档实用文案又构造函数：，则，故在上单调递增，由于时，，且，故必存在，使得，故在上单调递减，在上单调递增，又时，，且，故在上恒成立，也即在上恒成立，令，有，再由，且在上单调递增，故，即证：成立.标准文档实用文案综上：即证成立.从而对恒成立，同理得出：.综上：即证成立，也即原不等

5、式成立.学*科网★已知函数．（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3）若函数有两个不同的零点，，求证：．【答案】（1）；（2）当时，，当时，，当标准文档实用文案时，；（3）证明见解析.试题解析：（1）因为点在曲线上，所以，解得．因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为．（2）因为，①当时，，，所以函数在上单调递增，则；②当，即时，，，所以函数在上单调递增，则；③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；④当，即时，，，函数在上单调递减，则．标准文档实用文案综上，当时，；当时，；当时，．令，则，于是，令（），则，故函数在上是增函数，所以，即成立，所以原不等

6、式成立．所以，即成立，所以原不等式成立．标准文档实用文案【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.★已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：<0.【答案】

7、（1）（2）（3），理由见解析用分离参数在上恒成立，即求的最大值.（3）有两个实根，，两式相减，又，．要证：，只需证：，令可证.试题解析：（1）标准文档实用文案函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以．于是．要证：，只需证：只需证：．(*)令，∴(*)化为，只证即可．在（0，1）上单调递增，，标准文档实用文案即．∴．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性