第一讲 数列极限

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1、第一讲数列极限一、上、下确界1、定义：1）设，若，则称M是数集S的一个上界，这时称S上有界；若，则称L是数集S的一个下界，这时称S下有界；当S既有上界又有下界时就称S为有界数集。2）设，若，且，则称M是数集S的上确界，记；若，且，则称L是数集S的下确界，记。2、性质：1）（确界原理）设，，若S有上界，则S有上确界；若S有下界，则S有下确界。2）当S无上界时，记；当S无下界时，记。3）。4）。5）。6）。（武大93）7）设是D上的有界函数，则3、应用研究1）设为一个正无穷大数列，E为的一切项组成的数集，试证必存在自然

2、数p，使得。（武大94）二、数列极限1、定义：1），称为收敛数列；2），称为数列；3），称为数列；4），称为数列；5），称为无穷小数列；2、性质1）唯一性：若。2）有界性：若为收敛数列，则为有界数列。3）保号性：4）保不等式性：若5）迫敛性：若6）四则运算：若则。7）Stolz定理：设为严格增的数列，若存在，则。证明：（1），则。（用归纳法证明），；。（2）设，由（1）得，又，所以，又因为，从而3、极限存在条件：1）（Cauchy收敛准则）收敛的充要条件是；2）（单调有界收敛原理）若单调增上有界，则收敛，且；若单调

3、减下有界，则收敛，且；3）（致密性定理）有界数列必有收敛子列。4）收敛的充要条件是4、子列：称为的子列：1）收敛的充要条件是的任何子列都收敛；2）存在都存在，且；3）满足至多有限项，满足有无穷多项，称A为的上极限；满足至多有限项，满足有无穷多项，称B为的下极限；存在。（1）；（2）；（3）；（4）三、应用研究1、设，证明存在。证：令，从而．２、，证明存在并求其值。证明：显然，。若，则，，从而，由得，从而，若，由，得，则，总之有，即3、，求证：。（武大00）证明：，，若，则，从而存在，在取极限，得，所以。4、设，如果

4、数列收敛，计算其极限，并证明数列收敛于上述极限。（武大99）证明：由，，可归纳证得：从而都存在，令，由，取极限得，所以数列收敛，且5、设数列有一子列收敛，且及都有无穷个元，而及都为单调数列，问上否收敛？为什么？（武大98）证明：1）单调数列若有收敛子列，则本身收敛：2）由1）知及都收敛，又因为，故收敛。6、设，且，证明数列中存在一子序列是收敛的子序列。（武大97）7、设，令，证明。（武大96）8、设无上界，证明存在子序列，使得。（武大95）9、设证明极限存在并求极限.（北大02）证明：易知，当时，单调增；当时，单调

5、减，从而极限存在，令，在两边取极限得，再由得。10、求极限.（北大01）解：当时，，；当时，；当时，。11、设在点右导，，求极限.（北大01）解：12、.（北大98）13、证明：（1）为递减数列：（用）（2）（华东师大00）14、设中数列，满足其中,证明：（1）若有界，则有界；（2）若收敛，则收敛。（清华01）证明：（1）设，由于，从而。（2）设，15、（1）用语言证明：。（2）设函数在点可导，且。求：。（3）求极限，其中。（清华00）16、求极限（清华99）17、设，证明。（上海交大04）证明由Stolz公式。1

6、8、设(为已知)求.（南京大学00）19、求。（浙大01）20、试证：单调数列收敛到的充要条件是存在子列收敛到。（武汉所00）