2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

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1、2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1．若集合，，，则集合（）A．B．C．D．【答案】D【解答】依题意，，。由，知；，知或。所以，或，即。2．已知直线：与直线：（）相互垂直，垂足为，为坐标原点，则线段的长为（）A．B．2C．D．【答案】D【解答】由知，，结合，得，。∴方程为，即；方程为：，即。由，得。因此，，线段长为。3．如图，在三棱锥中，，均为等边三角形，且。则二面角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】如图，取中点，中点，连结，，，。（第3题）不妨设，则由条件知，，。

2、∴，。∴。又，故是二面角的平面角。在中，由，，，得，。∴二面角的余弦值为。84．若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】∵时，函数的值域为，∴时，，即时，。∴，且时，恒成立。∴，的取值范围为。5．如图，在四面体中，已知、、两两互相垂直，且。则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】如图，设（在上，在上，在上）。（第5题）由，，，，知，，。∴在面内与点距离为的点形成的曲线段（图中弧）长为。同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为。又在面内与

3、点距离为的点形成的曲线段长为。在面内与点距离为的点形成的曲线段（图中弧）长为。∴四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为。6．是定义在上的函数，若，且对任意，满足，，则（）A．2013B．2015C．2017D．2019【答案】C8【解答】∵对任意，满足，∴。又。因此，，。∴，。∴。二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知实数，满足，记的最大值为，最小值为，则。【答案】72【解答】设，由知，。因此，点在以为圆心，3为半径的圆上。又，设，则。∵，。∴，，。注本题也可以三角换元法。由，设，，代入后求最值。8．过直线上一点作

4、圆：的切线、，、为切点。若直线、关于直线对称，则线段的长为。【答案】【解答】由切线、关于直线关于对称，以及切线、关于直线对称知，直线与直线与重合或垂直。由点不在直线上知，与直线垂直。设，则，。∴，。9．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，为侧面的内心，则四棱锥的体积为。【答案】【解答】如图，取中点，连结，由条件知在中，，。∴在线段上，且。∴。∴。10．已知是偶函数，时，（符号表示不超过8的最大整数），若关于的方程（）恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为。【答案】【解答】作出函数与的草图（如图所示）。易知直线恒过点，是方程

5、的一个根。从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点。∴的取值范围为。11．方程（）的正整数解为。（写出所有可能的情况）【答案】，【解答】依题意，。∴，，。由，知，因此，。∴，，2，3。若，则，，。将，代入题中方程，得，。若，则，。由知，不存在。若，则。所以，，又，因此，，5，6，7。经验证只有符合。将，代入题中方程，得，。∴符合条件的正整数解有或。12．已知，，，则的最小值为。【答案】6【解答】设，，，则，，。且，，。∴，，。∴当且仅当，，，即，，，即，时等号成立。（如8，，即，，时等号成立）。∴的最小值为6。三、

6、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．已知，。（1）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值。【答案】（1）依题意，。由在区间上为单调函数，知在区间上是单调函数，且。∴或。…………4分∴或。∴实数的取值范围是。………………………8分（2）。设，则，。设，………………………12分则时，的最小值为。由，得，符合要求。时，的最小值为。由，得，不符合要求，舍去。时，的最小值为。由，得，符合要求。综合，得或。……………………………16分14．已知（）。

7、（1）若在区间内有两个不同的实数根，求实数的取值范围；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1）依题意，有。……………4分解得。∴的取值范围为。………………………8分（2）∵时，恒成立，8∴时，，即恒成立。∴时，恒成立。………………………12分设，则，。由在上为增函数，知的值域为。∴，即的取值范围为。………………………16分另解：由（1）知，，总有两个不相等的实根。设方程的两根为，（）。∴时，恒成立。…………………12分∴，。解得，。∴的取值范围为。…………………………16分15．如图，圆的圆心在坐标原点，过点的动直线

8、与圆相交于，两点。当直线平行于轴时，直线被圆截得的线段长为。（1）求圆的方程；（2）在平面直角坐标系内，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）设圆半径为，依题意有。（第15题）∴，圆方程为。……………4分（