§17定积分的简单应用

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1、§1.7定积分的简单应用（一）一：教学目标1、进一步让学牛深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法;2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基木定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的儿种常见题型及方法；4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。—：教学重难点重点曲边梯形面积的求法难点定积分求体积以及在物理小应用三：教学过程：定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1.计算由两条抛物线/=%和所围成的图形的面积.解：仮二＞%=（）及兀=1,所以两曲线的交点为（0,0）、（1,1）,而

2、积S==f仮dx-fFdx,所以S=j^(Vx-x2)dx=—x^=

3、L?彳」o例2.计算由直线y=x—4,曲线y=y/2^以及x轴所围图形的而积S.解：作出直线）=兀-4,曲线y=殛的草图，所求面积为图阴影部分的面积.V2x,x-4得直线y=4与曲线y=的交点的处标为（&4）.直线y=x-4与x轴的交点为（4,0）.因此，所求图形的血积为S=S]+S解方程组=£y[lxdx+[fflxdx_£（x-4）dx]3純+竽爲如一叽402^2例3.求曲线y=sinxIn答案：S=『sinxdx=-cos兀「=弓xw[0,年]少直线*=°，*

4、=乎，*轴所围丿如单图形面积。In练习1、求直线j=2x+3与抛物线j=x2所围成的图形面积。答案：S=（2x+3~x2）dx=（x2+3x-—）l!j=—丄i332、求由抛物线j=-x2+4x-3及其在点M（0,-3）lxX和N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积。略解：・.・『/=_2x+4,切线方程分别为y=4兀一3、j=-2x+6,则所求图形的面积为3S=f

5、(4x—3)—(―x~+4x—3)]t/x+29[(一2x+6)—(一x'+4兀一3)]dx=—43、求曲线j=log2x与曲线j=log2(4-x)以及兀轴所围成的

6、图形面积。略解：所求图形的而积为S【g(j)-,f(y)dy=((4一2x=(Ay—2x2ylog2e)l0=4-21og2e4、在曲线y=〒(兀》o)上的某点A处作一切线使之与曲线以及兀轴所围成的面积为丄.1试求：切点A的坐标以及切线方程.略解：如图由题可设切点处标为(x0,x02)，贝I」切线方程为j=2x0x-x02,切线与X轴的交点坐标为x0(¥，0)，则山题可知有S=Fx2dx+P(x2-2x0x+L刀2~・・・x0=l,所以切点坐标与切线方程分別为A(l,l),y=2x-l总结：1、定积分的儿何意义是：在区间［a,切上的曲线

7、丿=/(兀)与直线兀=a、x=h以及x轴所围成的图形的面积的代数和，即(fMdx=Sx^-Sx^n-.2、求曲边梯形面积的方法与步詁：(1)画图，并将图形分制为若干个曲边梯形；(2)对侮个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：(1)兀型区域：①由一条曲线y=/(x)(其中/(兀)20)与直线x=a,x=b(a

8、(兀)<0)与直线x=a,x=b(ag(x))与直线x=a9x=b(a0)与直线y=a,y=b(a

9、直线y=a,y=b(a

10、和侧前积由曲线y=/(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕兀轴旋转而成的旋转体体积为V=7T^[f(x)]2dx.•其侧面积为S侧=2龙£/⑴如八兀)]加•四：课堂小结'本节课主要学习了利用定积