高中数学错解分析--函数概念与基本初等函数

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1、第二章函数概念与基本初等函数§2.1映射、函数、反函数一、知识导学1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则『，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A-*B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数：设A,B都是非空的数集，如杲按某种对应法则/,对于集合A中每一个元素兀,在集合B中都有唯一的元素和它对应,且B中每一个元素都的原象,这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x).其中所有的输

2、入值兀组成的集合A称为函数y=/(x)定义域.对于A屮的每一个x,都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(xGA)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出來，得到x二fT(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯—•的值和它对应，那么x二fT(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y二f(x)(xGA)的反函数，记作x二fT(y).我们一般用x表示白变量，用y表示函数,为此我们常

3、常对调函数x二fT(y)中的字母x,y,把它改写成y=r1(x)反函数y=f1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1•对映射概念的认识⑴是不同的，即斗三上有序的.或者说：映射是有方向的,(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B屮必定存在唯一的输岀值.或者说：允许集合B屮有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3)集合A,B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集介.2.对函数概念的认识(

4、1)对函数符号/(x)的理解知道y=/(x)与于(兀)的含义是一样的，它们都表示•:•是工的函数，英中工是口变量，/(兀)是函数值，连接的纽带是法则是单-值对应.(2)注意定义屮的集合A,B都是非空的数集,而不能是其他集合;(3)函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3.对反两数概念的认识(1)函数y二/(x)只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域•般不能由其解析式來求，而应该通过原函数的值域而得.(3)互为

5、反函数的函数有和同的单调性，它们的图像关于y二x对称.三、经典例题导讲［例1］设皿={a,b,c},N={—2,0,2},求(1)从M到N的映射种数;(2)从M到N的映射满足f(a)>/(b)^f(c),试确定这样的映射于的种数.错解：(1)由于M={a,b,c},N={—2,0,2},结合映射的概念，有aT-2d-2dT06/->0ci—2(X―y20,0Jci―2(2)ill(1)得满足条件的

6、映射仅有一种情况CT—2错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清正解：(1)由于M={a,b,c},N={—2,0,2},结合映射的概念，有一共冇27个映射aTOa~2a―>2ci―>2(2)符合条件的映射共有4个,

7、，不明白/(劝与/(w(x))定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：/(X)中X取值的范围与中式子讥兀)的取值范围一致就好了.正解：由于函数/(x)的定义域为［0,1］,即OSxWl・•・/(兀+1)满足・•.()6)(兀<6)・・・/(3)=3-

8、3=0.错因：没有理解分段函数的意义，.f(3)的白变最是3,应代入/U+2)屮去，而不是代入x-5中，只冇将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.,x-5(x>6)正解:•-心心2)(兀V6)'・・・/(3)=/(3+2)=/(5)=/(54-2)=/(7)=7-5=2［例4］已知/(X)的反函数是广i(x),如果/(兀)与的图像有交点，那么交点必在直线y=x上，判断此命题是否正确？错解：正确错因：对互为反函数的图像关于直线y二x对称这一性质理解不深，比如函数y=(—y与y=log］X的图