专题14+导数法妙解极值、最值问题-备战2019年高考高三数

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1、【备战2019年高考高三数学V热点.难点一瑚T尽】专题14导数法妙解极值、最值问题考纲要求：1•了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数不超过三次）•基础知识回顾：1、求函数的极值（1）设函数y=f（x）在兀=心及其附近有定义，如果/（兀。）的值比兀。附近所有各点的值都大（小），则称于（兀0）是函数=f（x）的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域D,再求导，再解方程/'（X）=0（注意和D求交集），最后列表确

2、定极值。一般地，函数在/（兀）点心连续时，如果观附近左侧fx）>0,右侧/（X）<0,那么/（兀）是极大值。一般地，函数在.f（x）点勺连续时，如果x（）附近左侧/（%）<0,右侧fx）>0,那么/（心）是极小值。（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）一般地，连续函数/（劝在点X。处有极值是/（xo

3、）=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。2、用导数求函数的最值（1）设y二/（x）是定义在闭区间［。,列上的函数，y=/（兀）在（a"）内有导数，可以这样求最值：①求出函数在仏b）内的可能极值点（即方程fW=0在仏b）内的根坷宀,…，兀"②比较函数值/⑺），/（方）与/3）,/也），•••，/（£），其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)如果是开区间(a,b),则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。应用举例类型一、知图判断函数极值【例I】【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第八次模拟考试】如图

4、，已知直线y=也与曲线y=f⑴相切于两点，函数gM=kx+mf则函数F(x)=9(x)-/(x)A.有极小值，没有极大值B.有极大值，没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值【答案】C【解析】【分析】首先分析函数的图像，从图中读出相应的信息，根据条件，判断广与k的关系，进行判断，从而求得结果一【详解】因为直线直线y=滋与曲线y=fO)相切于两点，所以販=fG)有两个根，且f(x)

5、结合函数的图像，可以得到卩(力至少有两个极小值和一个极大值，故选C.【点睛】该题考查的是有关利用函数图像解题的问题，在解题的过程中，需要认真分析，读出图中所给的相关信息,对函数求导，分析广（兀）与k的关系，从而判断出函数的极值点的个数，得到结果.【例2]【浙江省杭州市第二中学2018届髙三6月热身考】如图，可导函数=fW在点玖“/（勺））处的切线为/：y=9O）,设=则下列说法正确的是（）B.h（xo）==%是hO）的极小值点C.h（%）=吸=%不是色）的极值点D.仇（“）==勺是加兀）的极值点【答案】B【解析1分析：从图像看〉在（％十8

6、）_匕伦）为増函数〉在（-8吧）上，瓜>）是顺函数，故可判断X=XQ为的极小值点.详解：宙题设有g（Q=f'%）（>-xfl）+fCd故瓜»=f（x）一-利）一代补），所以卅O）=f（x）一尸（％）,因为卅Od）=f（^D）一『0』=0・又当寸，有卅（Qvo,当工>补时，有圧（©>0,所加=利是皿）的极小值点>故选B・点睛：函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数團像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在心的附近的任意工,>A^d）

7、必为函数的极值点.类型二、正向思维：已知解析式求极值或最值【例3][2017山东济南市高三摸底考试】设函数若函数f（x）在无=1处与直线y=—㊁相切，(1)求实数日，方的值；(2)求函数f(x)在je上的最大值.(曰=1,【答案】V1/?=2-【解析】(W)=;-2Ax,■A*T函数几对在x=l处与直线丁=一*相切,了1=a~2b=Q9(2)由(1)蒔夬羽=/加一护，则/⑴=?—只=宇，•・•当土6时，令他A0得旨<1：令/a)VO,得1<0,5)在［占1］上单调逋瞰在［1,打上单调递减，5)沁=刃1)=—*点评：求函数您在［0,D］上的

8、壺大值和盍.小值3步骤⑴求函教在〔4切内的极值：〔2)求函数在区间端点的函数值人。)，人力；学&科阿⑶将函数用)的极值与用2),N&)比較，其中最大的一个为最大值，送/卜的一个为最小值.【例4