梅涅劳斯定理及其应用

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1、梅涅劳斯定理及其应用（姓名）摘要：使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。本文简单介绍了梅捏劳斯定理及其应用。关键词：共线、共点、应用一、梅涅劳斯定理1．定理设分别是的边或其延长线上的点，且有奇数个点在边的延长线上，则三点共线的充要条件是2．定理的证明证明1：不妨设中的一点在边的延长线上（如图所示）。若三点共线，过引交于，则故.反之，若成立，设直线与的延长线交于，即，，三点共线，则由上

2、面的证明有与比较，可得，即与重合，故三点共线。若三点均在边的延长线上，上面的证明仍然适用。注：“三点中有奇数个点在边的延长线上”5这一条件十分必要，否则梅捏劳斯定理不成立证明2：（正弦定理）如图，令，，，在中，由正弦定理知：，同理，∴，，，∴，即.3、梅涅劳斯定理的逆定理梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即如果有三点、、分别在的三边、、或其延长线上，且满足，那么、、三点共线。注：利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线5一、梅涅劳斯定理的应用梅涅劳斯定理的应用定理1若的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边

3、于，则、、三点共线。证明：由三角形内、外角平分线定理知，，，，则，故、、三点共线。梅涅劳斯定理的应用定理2过任意的三个顶点、、作它的外接圆的切线，分别和、、的延长线交于点、、，则、、三点共线。证明：∵是⊙的切线，∴∽，∴，则，同理：，∴，故、、三点共线。例1已知：过顶点的直线，与边及中线分别交于点和.求证：.证明：直线截，由梅涅劳斯定理，得：5又，∴，则例2已知：过重心的直线分别交边、及延长线于点、、.求证：.证明：连接并延长交于，则，∵截，∴由梅氏定理得，；同理：∴，，∴即例3ABCD是一个平行四边形，E是AB上

4、的一点，F为CD上的一点。AF交ED于G，EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M。求证：DL=BM.证明：如图，设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I。在△ECD与△FAB中分别使用梅涅劳斯定理，得，.因为AB//CD，所以，.从而，即，故CI=AJ.而，且BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以BM=DL。5例4若三角形ABC的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则三点共线。证明：由三角形内、外角平分线定理知，则故三点共线。通过对梅涅劳斯定理及其应用的简单

5、介绍，我们可以看出，梅涅劳斯定理的应用是十分广泛的，所以我们要牢记梅涅劳斯定理、及其定理的证明，还要掌握好其定理的应用。5