数学竞赛--梅涅劳斯定理.pdf

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1、梅涅劳斯定理（）（简称梅氏定理）最早出现在由数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（）。任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明.梅涅劳斯把这一定理扩展到了。中文名提出时间1678年外文名应用学科数学，物别称理表达式()×()×()=1适用领域范围平面提出者适用领域范围定理内容定理证明证明一过点A作∥交的延长线于点G.则证明二过点C作∥交于P，则两式相乘得证明三连结、，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。：：S…………（1）△△，：：S…………（2），

2、△△：：S：S△△△△=（S）：（S）△△△△：S…………（3）△△（1）×（2）×（3）得证明四过三顶点作直线的垂线‘，'，'，如图：充分性证明：△中，，，上的分点分别为D，E，F。连接交于E'，则由充分性可得，()×()×(''A)=1又∵∴有''A，两点重合。所以共线推论在△的三边、、或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ、μ、ν。于是、、三线交于一点的是λμν1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）此外，用该定理可使其容易理解和记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则(∠∠)(∠∠)(∠∠)=1即图中的蓝角正弦值之积等

3、于红角正弦值之积。该形式的梅涅劳斯定理也很实用。证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任取一点O，且共线，则（∠∠)(∠∠)(∠∠)=1。(O不与点A、B、C重合)梅涅劳斯球面三角形定理在球面三角形中，三边弧，弧，弧(都是大圆弧)被另一大圆弧截于三点，那么数学意义使用定理可以进行中线段长度比例的计算，其还可以用来解决、三线共点等问题的判定方法，是学以及中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的是。它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边、、或其延长线上，且满足××1，则F、D、E三

4、点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。梅涅劳斯逆定理定理若有三点F、D、E分别在边三角形的三边、、或其延长线上，且满足××1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。注意定理中提到的三个点的位置，在中，三个点要么只有两个在三角形边上，要么一个都不在三角形边上。即：该成立的前提是三个点有偶数个点在三角形边上。否则为逆定理。证明方式已知：E、F是△的边、上的点，D是的延长线的点，且有：()()()=1。求证：E、F、D三点共线。思路：采用反证法。先假设E、F、D三点不共线，直线与交于P。再证P与F重合。证明：先假设E、F、D三点不共线，直线与交

5、于P。由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得：()()()=1。∵()()()=1。∴；∴()()；∴；∴；即P与F重合。∴D、E、F三点共线。注意首先我们已知图中的直线关系：三角形一边的延长线上一点与相邻边上一点的连线与另一边相交于一点，然后再来求各个边的关系。梅涅劳斯的功劳在于，他根据上图的现象，发现了关系式：××1然后反过来再证明，如果满足这个关系，那么那条线是直线总之：从现象发现等式，再从等式反推现象，这两个工作使得这一发现成为定理。问题：梅涅劳斯是怎么根据图中的现象发现或者计算出等式××1？这个问题请大家思考。梅涅劳斯定理及

6、例题拓展梅涅劳斯介绍：在证明点共线时，有一个非常重要的定理，它就是梅涅劳斯定理，梅涅劳斯（）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍。下面的定理就是他首先发现的。这个定理在几何学上有很重要的应用价值。定理：设D、E、F依次是三角形的三边、、或其延长线上的ADBECF1点，且这三点共线，则满足DBECFA证明：（此定理需要分四种情况讨论，但有两种可以排除）先来说明两种不可能的情况情况一：当三点均在三角形边上时，由基本事实可知三点不可能共线（只能组成内接三角形的三角形。情况二：当一点在三角形一边上，另两点分别在三角形另两边的延长

7、线上时，如图是三角形直线交于点D，交于点F，交于点E，平移直线即可发现不能可两点同时在延长线上情况三：当两点分别在三角形两边上，另一点在三角形另一边的延长线上时，如图是三角形直线交于点D，交于点F，交于点E，∵D、E、F三点共线∴可过C作∥交于M，于是BEBDADAF,,ECDMDMFCBEADBDAFECDMDMFCADBECF1所以DBECFA情况四：三点分别在三角形三边的延长线上时，如图是三角形直线交于点D，交于点F，交于点E，同情况三∵D、E、F三点共线∴可过C作∥交于M，于是BEBDADAF,,ECDMDMFCBEADBDAFECD

8、MDMFCADBECF1所以DBECF