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《Euler方法与改进的Euler方法的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、CENTRALSOUTHUNIVERSITY数值分析实验报告Euler方法与改进的Euler方法的应用一、问题背景在工程和科学技术的实际问题中，常需求解微分方程，但常微分方程中往往只有少数较简单和典型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可求出其解析解,对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程的求解困难就更不用说了。大多数情况下，常微分方程只能用近似方法求解。这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等;另一类是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似值。二、数学模型在具体求解微分方程时，需具备某种定解条件，微分方程
2、和定解条件合在一起组成定解问题。定解条件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题。另一类是给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。在本文中主要讨论的是给定初值条件的简单Euler方法和改进的Euler方法来求解常微分方程。三、算法及流程Euler方法是最简单的一种显式单步法。对于方程考虑用差商代替导数进行计算，取离散化点列，则得到方程的近似式即得到简单Euler方法。具体计算时由出发，根据初值，逐步递推二得到系列离散数值。简单Euler方法计算量小，然而精度却不高，因而我们可以构造梯形公式其中。这是
3、一个二阶方法，比Euler方法精度高。但是上述公式右边有，因而是隐式差分方程，可以用迭代方法计算。初值可以由Euler公式提供，一般而言迭代一两次即可。在计算中的迭代公式为容易看出这实际上是一种预估-校正方法。改进的Euler方法又称为Henu方法。MATLAB实现过程：（1）简单Euler方法函数function[t,x]=Euler(fun,t0,tt,x0,N)%MyEuler用前向差分的欧拉方法解微分方程%fun表示f（t,x）%t0,tt表示自变量的初值和终值%x0表示函数在x0处的值，其可以为向量形式%N表示自变量在[t0,tt]上取得点数h=(tt-t0)
4、/N;%步长ht=t0+[0:N]'*h;%时间tx(1,:)=x0';%赋初值fork=1:Nf=feval(fun,t(k),x(k,:));f=f';x(k+1,:)=x(k,:)+h*f;end将文件以文件名Euler.m保存。（2）改进的Euler方法函数function[t,x]=GjEuler(fun,t0,tt,x0,N)%改进的Euler方法解微分方程h=(tt-t0)/N;%计算所取的两离散点之间的距离t=t0+[0:N]'*h;%表示出离散的自变量xx(1,:)=x0';fori=1:Nf1=h*feval(fun,t(i),x(i,:));f1=
5、f1';f2=h*feval(fun,t(i+1),x(i,:)+f1);f2=f2';x(i+1,:)=x(i,:)+1/2*(f1+f2);end将文件以文件名GjEuler.m保存。四、计算结果与分析计算常微分方程的初值问题编写函数文件，打开Editor编辑器，输入以下语句并以文件名GjEuler.m保存。functionf=GjEuler(t,x)f=1/t*(x^2+x);再编写主函数文件，打开Editor编辑器，输入下列语句并以文件名GjEuler_main.m保存文件。functionGjEuler_main()%比较改进Euler法、简单Euler法及文
6、芬方程符号解[t,x]=Euler('GjEuler_fun',1,3,-2,15);%Euler方法¨[tgj,xgj]=GjEuler('GjEuler_fun',1,3,-2,15);%改进的Euler方法的解sh=dsolve('Dx=1/t*(x^2+x)','x(1)=-2','t');%符号计算fork=1:16%时间离散化st(k)=t(k);%取数值方法的离散的时间sx(k)=subs(sh,st(k));endplot(t,x,'*',tgj,xgj,'+',st,sx)[t,x,xgj,sx']%t时间%x简单Euler方法计算结果%xgj改进Eu
7、ler方法的计算结果%sx符号计算结果[t,sx'-x,sx'-xgj]%两种方法的计算误差%plot(t,sx'-x,'+',t,sx'-xgj,'*')运行程序，在MATLAB命令窗口输入：>>GjEuler_main运行结果如下所示：ans=[1,-2,-2,-2][17/15,-26/15,-6854/3825,-34/19][19/15,-6058/3825,-3726675967822917/2251799813685248,-38/23][7/5，-6694439885567781/4503599627370496,-438
