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1、第八章常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程主要有:(1)变量可分离的方程(2)一阶线性微分方程(贝努利方程)(3)可降阶的一类高阶方程(4)二阶常系数齐次微分方程(5)二阶常系数非齐次微分方程(6)全微分方程常微分方程数值解法主要内容：一、引言二、建立数值解法的常用方法三、Euler方法四、几何意义五、Euler方法的误差估计六、向后Euler方法主要内容许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题,如物体运动,电路震荡,化学反映及生物群体的变化等.能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,而且有的方程即使有解析解,也
2、可能由于解的表达式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程的数值解法一、引言本章重点研究一阶常微分方程的初值问题的数值解本章假定常微分方程数值解法初值问题数值解的提法常微分方程数值解法建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.一般采用以下几种方法:(1)用差商近似导数二、建立数值解法的常用方法(2)用数值积分近似积分实际上是矩形法宽高常用方法(3)用Taylor多项式近似并可估计误差常用方法用差商近似导数问题转化为Euler方法的迭代公式三、Euler方法令Euler方法例1解初值问题的迭代公式为:例题1用求根公式求解初值问题Cl
3、ear[x,y,h]h=0.1;x[n_]:=n*h;DSolve[{y'[x]==y[x]-2x/y[x],y[0]==1},y[x],x]Table[%/.x->x[n],{n,1,6}];MatrixForm[%]y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.48324求微分方程的解Mathematica程序Clear[a,b,x,y]x[0]=0;y[0]=1;h=0.1;x[n_]:=n*h
4、;f[u_,v_]:=v-2u/vK1[n_]:=f[x[n-1],y[n-1]]y[n_]:=y[n-1]+h*K1[n];Table[{x[n],y[n]},{n,0,8}]//N;MatrixForm[%]01.0.11.10.21.191820.31.277440.41.358210.51.435130.61.508970.71.580340.81.64978运行结果Mathematica程序近似解精确解01.0.11.10.21.191820.31.277440.41.358210.51.435130.61.50897y[0]
5、->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.48324结果比较例2解初值问题的迭代公式为:例题2用求根公式求解初值问题Clear[x,y,h]h=0.1;x[n_]:=n*h;DSolve[{y'[x]==(2/3)*x/(y[x])^2,y[0]==1},y[x],x]Table[%/.x->x[n],{n,0,10}];MatrixForm[%]y[0]->1y[0.1]->1.00332y[0.2]-
6、>1.01316y[0.3]->1.02914y[0.4]->1.05072y[0.5]->1.07722y[0.6]->1.10793Mathematica程序Clear[a,b,x,y]x[0]=0;y[0]=1;h=0.1;x[n_]:=n*h;f[u_,v_]:=(2/3)u/v^2;K1[n_]:=f[x[n-1],y[n-1]]y[n_]:=y[n-1]+h*K1[n];Table[{x[n],y[n]},{n,0,6}]//N;MatrixForm[%]01.0.11.0.21.006670.31.019820.41.03
7、9050.51.063750.61.09321Mathematica程序四、几何意义Y=y(x)ab几何意义四、Euler方法的误差估计为简化分析，先考虑计算一步所产生的误差，即假设是精确的，估计误差这种误差称为局部截断误差。估计截断误差的主要方法是Taylor展开法，即将函数在处展开：取一次Taylor多项式近似函数，得得Euler方法的局部截断误差公式为结论：上式说明Euler公式的局部截断误差为它的精度很差。一般很少用它来求近似值，但是Euler法却体现了数值方法的基本思想。定义8.1如果某种数值方法的局部截断误差为，则称该方法是
8、p阶方法或具有p阶精度。显然p越大，方法的精度越高。注：Euler方法具有一阶精度，因此它的精度不高。五、Euler方法的误差估计我们更关心整体截断误差，但其讨论要用到局部截断误差。Euler方法的误差估计
